Question

9．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AD=4，BF=3，∠EAF=60°，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，如果向量$\overrightarrow{CE}$=k$\overrightarrow{a}$（k≠0），那么k的值是-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据AE⊥CD、AF⊥BC及∠EAF=60°可得∠C=120°，由平行四边形得出∠B=∠D=60°、AB∥CD且AB=CD，利用三角函数求得DE=2、AB=6，CE=4，最后可得$\overrightarrow{CE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$．

解答 解：∵AE⊥CD、AF⊥BC，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠EAF=60°，
∴∠C=360°-∠AEC-∠AFC=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°，
∴DE=ADcosD=4×$\frac{1}{2}$=2，AB=$\frac{BF}{cosB}$=$\frac{3}{\frac{1}{2}}$=6，
则CE=CD-DE=AB-DE=6-2=4，
∵AB∥CD，且AB=CD，
∴$\overrightarrow{CE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$，
故答案为：-$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查四边形内角和、平行四边形的性质、三角函数的应用及平面向量的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．