Question

2．如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求抛物线与x轴另一个交点C的坐标；
（3）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小，请求出点P的坐标；
（4）在抛物线上是否存在点M，使S_△ACM=S_△ABC？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）根据函数值为零，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；
（3）设抛物线与x轴的另一交点为C，根据（1）所得的函数解析式即可求得A、B、C的坐标；在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标．
（4）根据等底等高的三角形的面积相等，可得M的纵坐标与B的总纵坐标相等或互为相反数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{0=a×（-1）^{2}-4×（-1）+c}\\{-5=c}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-5}\end{array}\right.$
∴二次函数的表达式为y=x²-4x-5．
（2）当y=0时，x²-4x-5=0．
解得x=-1，x=5，
即抛物线与x轴另一个交点C的坐标（5，0）；
（3）令y=0，得二次函数y=x²-4x-5的图象与x轴
的另一个交点坐标C（5，0）；
由于P是对称轴x=2上一点，
连接AB，由于AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$，
要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小；
由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC；
因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点；
设直线BC的解析式为y=kx+b，
根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$
所以直线BC的解析式为y=x-5；
因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=x-5}\end{array}\right.$的解，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$
所求的点P的坐标为（2，-3）．
（4）由S_△ACM=S_△ABC，得
y_M=y_B，y_M+y_B=0．
得y_M=-5，y_M=5，
当y=-5时，x²-4x-5=-5，解得x₁=4，x₂=0（舍），即M点坐标为（4，-5）
当y=5时，x²-4x-5=5，解得x₁=2+$\sqrt{14}$，x₂=2-$\sqrt{14}$，
即M点坐标为（2+$\sqrt{14}$，5）（2-$\sqrt{14}$，5），
综上所述：S_△ACM=S_△ABC时，M点坐标为（2+$\sqrt{14}$，5）（2-$\sqrt{14}$，5），（4，-5）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数值为零得出方程是解题关键；（3）二次函数解析式的确定以及轴对称性质的应用，能够正确的确定P点的位置时解答此题的关键；（4）利用等底等高的三角形的面积相等得出M的纵坐标与B的总纵坐标相等或互为相反数是解题关键．