Question

17．已知二次函数y=x²+3x-4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，在抛物线上存在实数x₁、x₂（x₁＜x₂），当x₁≤x≤x₂时，y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，则x₁+x₂=-5．

Answer 1

分析 根据题意，分3种情况：①当x₁≤x₂≤-$\frac{3}{2}$时；②当x₁≤-$\frac{3}{2}$≤x₂时；③当-$\frac{3}{2}$＜x₁≤x₂时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x₁、x₂（x₁＜x₂），使得当x₁≤x≤x₂时，y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$即可．

解答 解：①当x₁≤x₂≤-$\frac{3}{2}$时，二次函数y=x²+3x-4单调递减，
∵y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}-4=\frac{12}{{x}_{1}}}\\{{{x}_{2}}^{2}+3{x}_{2}-4=\frac{12}{{x}_{2}}}\end{array}\right.$，
由x${{\;}_{1}}^{2}$+3x₁-4=$\frac{12}{{x}_{1}}$，
解得x₁=-3，-2，2，
由x${{\;}_{2}}^{2}$+3x₂-4=$\frac{12}{{x}_{2}}$，
解得x₂=-3，-2，2，
∵x₁≤x₂≤-$\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3}\\{{x}_{2}=-2}\end{array}\right.$

②当x₁≤-$\frac{3}{2}$≤x₂时，
Ⅰ、当-$\frac{3}{2}$-x₁≥x₂-（-$\frac{3}{2}$）时，
可得x₁+x₂≤-3，
∵y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4×1×（-4）-{3}^{2}}{4×1}=\frac{12}{{x}_{2}}①}\\{{{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}-4=\frac{12}{{x}_{1}}②}\end{array}\right.$，
由①，可得x₂=-$\frac{48}{25}$，
由（2），可得x₁=-3，-2，2，
∵x₁≤-$\frac{3}{2}$＜x₂，-$\frac{3}{2}$＞-$\frac{48}{25}$，
∴没有满足题意的x₁、x₂．
Ⅱ、当-$\frac{3}{2}$-x₁＜x₂-（-$\frac{3}{2}$）时，
可得x₁+x₂＞-3，
∵y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4×4×（-4）-{3}^{2}}{4×1}=\frac{12}{{x}_{2}}}\\{{{x}_{2}}^{2}+3{x}_{2}-4=\frac{12}{{x}_{1}}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1875}{949}}\\{{x}_{2}=-\frac{48}{25}}\end{array}\right.$
∵x₁+x₂=-$\frac{1875}{949}$≈-1.98-1.92=-3.9＜-3，
∴没有满足题意的x₁、x₂．

③当-$\frac{3}{2}$＜x₁≤x₂时，
二次函数y=x²+3x-4单调递增，
∵y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}-4=\frac{12}{{x}_{2}}①}\\{{{x}_{2}}^{2}+3{x}_{2}-4=\frac{12}{{x}_{1}}②}\end{array}\right.$，
（1）×x₂-（2）×x₁，可得
（x₁-x₂）（x₁x₂+4）=0，
∵x₁-x₂≠0，
∴x₁x₂+4=0，
∴x₂=-$\frac{4}{{x}_{1}}$…（1），
把（3）代入（1），可得x₁=-3±$\sqrt{13}$，
∵x₁＞-$\frac{3}{2}$，
∴x₁=$\sqrt{13}$，
∴x₂=$\frac{-4}{{x}_{1}}$，
∵-$\sqrt{13}$-3＜-$\frac{3}{2}$，
∴没有满足题意的x₁、x₂．
综上，可得
x₁=-3，x₂=-2时，当x₁≤x≤x₂时，y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$．
∴x₁+x₂=-5，
故答案为：-5．

点评 此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力，此题还考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．