Question

12．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（2，0），B点为⊙O上任意一点，P（5，0），连接BP，将线段BP绕B点逆时针旋转90°至线段BC，当B点从A点出发，绕圆旋转一周的过程中，C点运动路径长为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$π
• B． 4π
• C． 4$\sqrt{2}$π
• D． 6π

Answer 1

分析 如图，在y轴上取一点H，使得OH=OB，连接HC．OB．PH、PC．则△OPH，△PBC都是等腰直角三角形．首先证明△OPB∽△HPC，推出OB：HC=OP：PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得HC=2$\sqrt{2}$，推出点C的运动轨迹是以H为圆心，HC为半径的圆．

解答 解：如图，在y轴上取一点H，使得OH=OB，连接HC．OB．PH、PC．则△OPH，△PBC都是等腰直角三角形．

∴∠OPH=∠CPB=45°，PH=$\sqrt{2}$OP，PC=$\sqrt{2}$PB，
∴∠OPB=∠CPH，$\frac{OP}{PH}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴△OPB∽△HPC，
∴OB：HC=OP：PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OB=2，
∴HC=2$\sqrt{2}$，
∴点C的运动轨迹是以H为圆心，HC为半径的圆，
∴当B点从A点出发，绕圆旋转一周的过程中，C点运动路径长为4$\sqrt{2}$π，
故选C．

点评 本题考查轨迹．坐标与图形的变化、相似三角形的判定和性质、圆的周长等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．