Question

如图，在半径是2的⊙O中，点Q为优弧MN的中点，圆心角∠MON=60°，在NQ上有一动点P，且点P到弦MN的距离为x．
（1）求弦MN的长；
（2）试求阴影部分面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）试分析比较，当自变量x为何值时，阴影部分面积y与S_扇形OMN的大小关系．

Answer 1

分析：（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得出△OMN是等边三角形，即OM=ON=MN=2；
（2）根据三角形的面积公式，即可列出y，x的函数关系式；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等，可以过点O作OP′∥MN，以此线段为分界线进行分情况讨论．

解答：解：（1）∵OM=ON，∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形，
∴MN=OM=ON=2；

（2）由三角形面积公式可得y=S_△PMN=

1

2

×2x；
即：y=x（0≤x≤2+

3

）．

（3）令y=S_扇形OMN，即x=

2

3

π；
∴x=

2

3

π，
当x=

2

3

π时，y=S_扇形OMN；
当0≤x＜

2

3

π时，y＜S_扇形OMN；
当

2

3

π＜x≤2+

3

，y＞S_扇形OMN．
注：过O作OP′∥MN交⊙O上一点P′，依等积关系得：x=

2

3

π，即可下结论．

点评：若圆中的一条弦等于圆的半径，则此弦和两条半径构成了等边三角形；不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算；讨论面积大小的时候，首先要找到面积相等的情况，再进一步分情况讨论．