Question

已知：二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将A（-3，0），D（-2，-3）代入y=x²+bx+c，得：

9-3b+c=0 4-2b+c=-3

，
解得：

b=2 c=-3

；
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3．

（2）由：y=x²+2x-3得：
对称轴为：x=-

2

2×1

=-1，
令y=0，则：x²+2x-3=0，
∴x₁=-3，x₂=1，
∴点B坐标为（1，0），
而点A与点B关于x=-1对称，
∴连接BD与对称轴的交点即为所求的P点．
过点D作DF⊥x轴于点F，则：DF=3，BF=1-（-2）=3，
在Rt△BDF中，BD=

32+32

=3

2

，
∵PA=PB，
∴PA+PD=PB+PD=BD=3

2

，
即PA+PD的最小值为3

2

．

（3）存在符合条件的点E，
①在y=x²+2x-3中，令x=0，则有：y=-3，故点C坐标为（0，-3），
∴CD∥x轴，
∴在x轴上截取BE₁=BE₂=CD=2，得BCDE₁和BDCE₂，
此时：点C与点G重合，E₁（-1，0），E₂（3，0）．
②∵BF=DF=3，∠DFB=90°，
∴∠FBD=45°，
当G₃E₃∥BD且相等时，有G₃E₃DB，作G₃N⊥x轴于点N，
∵∠G₃E₃B=∠FBD=45°，∠G₃NE₃=90°，G₃E₃=BD=3

2

，
∴G₃N=E₃N=3；
将y=3代入y=x²+2x-3
得：x=-1±

7

，
∴E₃的坐标为：(-1+

7

-3，0)，
即(-4+

7

，0)，
同理可得：E4(-4-

7

，0)，
综上所述：存在这样的点E，所有满足条件的E点坐标为：
E₁（-1，0），E₂（3，0），
E₃(-4+

7

，0)，E4(-4-

7

，0)．