Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'），给出如下定义：

若b'=，则称点Q为点P的限变点．例如：点（3，﹣2）的限变点的坐标是（3，﹣2），点（﹣1，5）的限变点的坐标是（﹣1，﹣5）．

（1）①点（﹣，1）的限变点的坐标是　 　；

②在点A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1）中有一个点是函数y=图象上某一个点的限交点，这个点是　 　；

（2）若点P在函数y=﹣x+3的图象上，当﹣2≤x≤6时，求其限变点Q的纵坐标b'的取值范围；

（3）若点P在关于x的二次函数y=x2﹣2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'＜n，其中m＞n．令s=m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①（﹣，﹣1）；②A；（2）当﹣2≤x≤6时，﹣5≤b′≤2；（3）s关于t的函数解析式为s=t2+1（t≥1），s的取值范围是s≥2．

【解析】

（1）①直接根据限变点的定义直接得出答案；

②点（-1，-2）在反比例函数图象上，点（-1，-2）的限变点为（-1，2），据此得到答案；

（2）根据题意可知y=-x+3（x≥-2）图象上的点P的限变点Q必在函数y=的图象上，结合图象即可得到答案；

（3）首先求出y=x2-2tx+t2+t顶点坐标，结合t与1的关系确定y的最值，进而用m和n表示出s，根据t的取值范围求出s的取值范围．

（1）①根据限变点的定义可知点点（﹣，1）的限变点的坐标为（﹣，﹣1）；

②（﹣1，﹣2）限变点为（﹣1，2），即这个点是点A．

（2）依题意，y=﹣x+3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点Q必在函数y=的图象上．

当x=﹣2时，y=﹣2﹣3=﹣5，

当x=1时，y=﹣1+3=2，

当x=6时，y=﹣6+3=﹣3，

∴当﹣2≤x≤6时，﹣5≤b′≤2；

（3）∵y=x2﹣2tx+t2+t=（x﹣t）2+t，

∴顶点坐标为（t，t）．

若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．

若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m=t；

当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2+t]，即n=﹣[（1﹣t）2+t]．

∴s=m﹣n=t+（1﹣t）2+t=t2+1．

∴s关于t的函数解析式为s=t2+1（t≥1），

当t=1时，s取最小值2，

∴s的取值范围是s≥2．