Question

（2004•温州）（附加题）（1）对于任意给定的一个矩形C，是否存在另一个矩形，使它的周长和面积都是矩形C的2倍？请说明你的理由；
（2）当实数m为什么值，对于任何一个矩形C，都存在另一个矩形，它的周长与面积都是矩形C的m倍？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知：分别设出已知矩形和所求矩形的长与宽，再根据周长和面积的关系可以列出两个关系式，观察两个关系式可得一个根为xy的一元二次方程，再根据判别式可以确定方程是否有解，进而确定所求矩形是否存在；
（2）方法与（1）一样．
解答：解：（1）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y．
则
∴x，y是方程t²-2（a+b）t+2ab=0的两实根．
∵△=4（a+b）²-8ab=4（a²+b²）＞0，∴方程有解．
所以，对于长与宽分别为a，b矩形，存在周长与面积都是已知矩形的2倍的矩形；

（2）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y．
则
∴x，y是方程t²-m（a+b）t+mab=0的两实根．
当△=[m（a+b）]²-4mab≥0，即m≥时，方程有解．
所以，对于长与宽分别为a，b的矩形，当m≥时，存在周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形．
∵（a-b）²≥0，
∴a²+b²≥2ab，a²+b²+2ab≥4ab，
即（a+b）²≥4ab，≤1，
∴的最大值为1．
∴当m≥1时，所有的矩形都有周长与面积同时扩大m倍的矩形．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．