Question

19．已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-2（a+1）x+a²+3=0的两实数根．
（1）若（x₁-1）（x₂-1）=10，求a的值；
（2）已知等腰△ABC的一边为6，另外两边的长都是整数且恰好是方程x²-2（a+1）x+a²+3=0的根，求这个三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程x²-2（a+1）x+a²+3=0的两实数根得到△=4（a+1）²-4（a+3）²=8a-8≥0，求出a的取值范围，结合（x₁-1）（x₂-1）=10，利用根与系数的关系即可求出a的值；
（2）分6是等腰三角形的腰长还是底边长，利用等腰三角形的性质求出a的值，进而求出等腰三角形的腰长或底边长，求出三角形的周长．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-2（a+1）x+a²+3=0的两实数根，
∴△≥0，即△=4（a+1）²-4（a+3）²=8a-8≥0，
∴a≥1，x₁+x₂=2（a+1），x₁•x₂=a²+3，
∵（x₁-1）（x₂-1）=10，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1=10，a2+3-2（a+1）+1=10，
∴解得a₁=4，a₂=-2，
∵a≥1，
∴a=4；
（2）由题意可知，若等腰三角形的底边为6，那么方程x²-2（a+1）x+a²+3=0的两个根相等，
∴△=0，即△=4（a+1）²-4（a+3）²=8a-8=0，
∴a=1，
∴方程为x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，
∵2+2＜6不能构成三角形，故舍去，
若等腰三角形的腰长为6，那么方程x²-2（a+1）x+a²+3=0的一个根为6，
∴把6代入方程求得36-12（a+1）+a²+3=0，解得a的值为3或9，
当a=3时，方程x²-8x+12=0，解得x₁=2，x₂=6，
∴此三角形的周长为6+6+2=14，
当a=9时，方程为x²-20x+84=0，解得x₁=14，x₂=6，
∵6+6＜14构不成三角形，故舍去，
∴综上可知三角形的周长为14．

点评 本题主要考查了根与系数的关系、跟的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是要熟练掌握等腰三角形的性质，注意分类讨论，此题难度一般．