Question

12．观察下列等式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
将以上三个等式两边分别相加，得
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）探究并计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给等式发现$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）根据$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，可得（2）的计算过程及结果．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
故答案为：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；

（2）$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$）$+\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{6}$$-\frac{1}{8}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2014}-\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$$+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$$+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2014}-\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}×$$\frac{1007}{2016}$
=$\frac{1007}{4032}$．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．