Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD，∠BAD的平分线交BC于E，连接DE．
（1）说明点D在△ABE的外接圆上；
（2）若∠AED=∠CED，试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

证明：（1）证法一：∵∠B=90°，
∴AE是△ABE外接圆的直径．
取AE的中点O，则O为圆心，连接OB、OD．
在△AOB和△AOD中，
，
∴△AOB≌△AOD．
∴OD=OB．
∴点D在△ABE的外接圆上．

证法二：∵∠B=90°，
∴AE是△ABE外接圆的直径．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE．
∴∠ADE=∠B=90°．
取AE的中点O，则O为圆心，连接OD，则OD=AE．
∴点D在△ABE的外接圆上．

（2）证法一：直线CD与△ABE的外接圆相切．
理由：∵AB∥CD，∠B=90度．∴∠C=90°．
∴∠CED+∠CDE=90°．
又∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
又∠AED=∠CED，
∴∠ODE=∠DEC．
∴∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°．
∴CD与△ABE的外接圆相切．

证法二：直线CD与△ABE的外接圆相切．
理由：∵AB∥CD，∠B=90度．∴∠C=90°．
又∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
又∠AED=∠CED，
∴∠ODE=∠DEC．
∴OD∥BC．
∴∠ODC=90°．
∴CD与△ABE的外接圆相切．
分析：（1）根据题中条件AB=AD，∠BAO=∠DAO，AO=AO可证明△AOB≌△AOD，所以OD=OB，可证点D在△ABE的外接圆上；
（2）根据∠C=90°，可得∠CED+∠CDE=90°；利用∠ODE=∠DEC，可知∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°，即CD与△ABE的外接圆相切．
点评：主要考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系．利用三角形全等的方法来证明相等的线段和相等的角是常用的方法之一，要会灵活运用．
并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．