Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系，并加以证明；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE＝AD﹣BE，证明见解析；（3）DE＝BE﹣AD．

【解析】

（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC＝∠CEB＝90°，根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD．

（2）根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝BE，所以DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．

（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE＝BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．

（1）证明：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACD＝∠CBE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝DC+CE＝BE+AD；

（2）DE＝AD﹣BE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）结论：DE＝BE﹣AD．

同法可得△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．