Question

已知，如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，DE切⊙O于D，DE⊥MN于E．
（1）求证：AD平分∠CAM．
（2）若DE=8cm，AE=4cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）由DE与圆O相切，利用切线的性质得到OD垂直于DE，再由DE垂直于MB，得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行，得到OD与MB平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换可得出∠DAE=∠OAD，即AD为∠CAE的平分线，得证；
（2）过O作OF垂直于MB，显然得到四边形ODEF为矩形，利用矩形的对边相等得到OD=EF，OF=DE，设圆的半径为rcm，由DE的长得出OF的长，由EF-AE=OD-EF表示出AF的长，在直角三角形AOF中，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到半径r的长．

解答：解：（1）证明：连接OD，
∵DE切圆O于D，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
又∵DE⊥MB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ODE+∠DEB=180°，
∴OD∥MB，
∴∠ODA=∠DAE，
又∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠DAE=∠OAD，
则AD为∠CAM的平分线；
（2）过O作OF⊥AB，显然四边形ODEF为矩形，
则OF=DE，OD=EF，
设圆的半径OD=EF=OA=rcm，由DE=8cm，AE=4cm，
得到OF=8cm，AF=EF-AE=（r-4）cm，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得：OA²=AF²+OF²，即r²=（r-4）²+8²，
整理得：8r=80，
解得：r=10cm．

点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，利用了转化及方程的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．