Question

已知抛物线y=（x-2）²-m²（常数，n＞0）的顶点为P．
（1）写出抛物线的开口方向和P点的横坐标；
（2）若此抛物线与x轴的两个交点从左到右分别为A、B，并且∠APB=90°，试求△ABP的周长．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中，二次项系数决定开口的方向和开口的大小，本题中抛物线的二次项系数为1，因此开口向上．由于本题的抛物线的解析式是顶点式表达式．因此可直接得出顶点P的横坐标为2．
（2）求△ABP的周长，关键是确定三角形三顶点的坐标．可先根据抛物线的解析式用m表示出A、B两点的横坐标，那么AB的差就是这两个横坐标的差的绝对值，由于∠APB=90°，可得出△APB是等腰直角三角形，因此P点的纵坐标的绝对值应该是AB长的一半，由此可求出m的值．进而可求出A、B、P三点的坐标即可求出△ABP的周长．

解答：解：（1）抛物线开口向上，顶点P的横坐标为2；

（2）如图，设A、B两点坐标分别为A（x₁，0）、B（x₂，0）．
由（x-2）²-m²=0，
∵m＞0，
∴x₁=-m+2，x₂=m+2．
AB=x₂-x₁=（m+2）-（-m+2）=2m．
∵P为抛物线的顶点．
又∵抛物线对称轴为AB的垂直平分线，
∴∠PAB=45°．
因此AD=PD
∴PD=

1

2

AB．
即m²=

1

2

•2m．
∵m＞0．
∴m=1
由此可求得：AB=2，AP=BP=

2

∴△APB的周长为2+2

2

．

点评：本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）．