Question

7．已知关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+2m=0．
（1）求证：不论m为任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=x²-（2m+1）x+2m与x轴交于A、B两点（点A与点B在y轴异侧），且AB=4，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线y=x²-（2m+1）x+2m向上平移b个单位长度后，所得到的图象与直线y=x没有交点，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）证明一个一元二次方程有两个实数根需要证明△≥0．
（2）首先求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据AB=4，进而求出m的值，即可求出抛物线的表达式，
（3）联立抛物线方程与直线方程消去y，根据抛物线与直线无交点，利用△＜0来求b的取值范围．

解答 解：（1）△=b²-4ac=[-（2m+1）]²-4×2m=4m²-4m+1=（2m-1）²
∵不论m为任何实数时，总有△=（2m-1）²≥0，
∴该方程总有两个实数根．
（2）令y=x²-（2m+1）x+2m=0，
即x²-（2m+1）x+2m=0，
则（x-2m）（x-1）=0，
解得x=2m，x=1，
由AB=4，|1-2m|=4，
解得m=$\frac{5}{2}$或m=-$\frac{3}{2}$，
当m=$\frac{5}{2}$时，抛物线解析式为y=x²-6x+5，点A（1，0），点B（5，0）不合题意，舍去，
当m=-$\frac{3}{2}$时，抛物线解析式为y=x²+2x-3，点A（-1，0），点B（3，0），符合题意，
∴$m=-\frac{3}{2}$
∴抛物线的表达式为y=x²+2x-3
（3）将抛物线y=x²+2x-3向上平移b个单位后得到的抛物线为：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x-3+b}\\{y=x}\end{array}\right.$，
依题意列方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x-3+b}\\{y=x}\end{array}\right.$，
消去y，得x²+x+b-3=0，
∵图象与直线y=x没有交点，
∴△=1²-4×1×（b-3）＜0，
解得，$b＞\frac{13}{4}$

点评 本题主要考查了抛物线的应用，抛物线与x轴交点的知识，抛物线与直线的位置关系，涉及抛物线与直线的交点问题；解答抛物线与直线的交点问题常要联立方程组，消去一个未知数用判别式来解决抛物线与直线的交点问题．