Question

17．如图，CD为⊙O的直径，以D为圆心，DO长为半径作弧，交⊙O于两点A、B，证明：$\widehat{AC}$=$\widehat{CB}$=$\widehat{BDA}$．

Answer 1

分析 连接OA，OB，AD．BD，先证得△AOD，△OBD是等边三角形，得出∠AOD=∠BOD=60°，从而得出$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的度数是120°，$\widehat{BDA}$的度数也是120°，即可证得结论．

解答 证明：连接OA，OB，AD．BD，
∵OA=OD=AD，OB=OD=BD，
∴△AOD，△OBD是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠AOC=∠BOC=120°，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，且$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的度数是120°，
∴$\widehat{BDA}$的度数也是120°，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CB}$=$\widehat{BDA}$．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．