Question

【题目】将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠.

（1）如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点E的坐标为 ；

（2）如图②，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥轴交CD于点H，交BC于点G. 求证：EH＝CH；

（3）如图③，将矩形OABC变为正方形，OC＝10，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度.

Answer 1

【答案】（1）（0，5）；（2）证明见解析；（3）2.5.

【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质以及勾股定理得出BD的长，进而得出AE，EO的长即可得出答案；

（2）利用平行线的性质以及等角对等边得出答案即可；

（3）首先得出Rt△ATE≌Rt△DTE进而得出AT=DT．设AT=x，则BT=10-x，TC=10+x，在Rt△BTC中，BT2+BC2=TC2，求出即可．

试题解析：（1）∵将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，点O落在AB边上的点D处，

∴OC=DC=10，

∵BC=8，

∴BD==6，

∴AD=10-6=4，

设AE=x，则EO=8-x，

∴x2+42=（8-x）2，

解得：x=3，

∴AE=3，

则EO=8-3=5，

∴点E的坐标为：（0，5），

故答案为：（0，5）；

（2）∵EG∥x轴，∴∠OCE＝∠CEH，

由折叠可知∠OCE＝∠ECH，

∴∠CEH＝∠ECH，

∴EH＝CH；

（3）连接ET，

由题意可知，ED＝EO，ED⊥TC，DC＝OC＝10，

∵E是AO中点，∴AE＝EO，

∴AE＝ED，

在Rt△ATE和Rt△DTE中，

，

∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL），

∴AT＝DT，

设，则， ，

在Rt△BTC中， ,

即，

解得，即.