Question

1．给出定义：m°n=mn（其中m，n是实数），已知y=x°（a°x+b）+2，当x=b-1时，y=y₁；当x=b+1时，y=y₂．
（1）计算出y的值（用a，b，x表示）；
（2）已知y₁=y₂，求a的值；
（3）若y₁=y₂成立，过点（a，2ab+2）的直线y=kx+2与函数y=x°（a°x+b）+2交于点M，N，已知A（b，0），且∠MAN=90°．在函数y=x°（a°x+b）+2的图象上是否存在一点P，使得△PMN是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以直接解答本题．
（2）由y₁=y₂，代入第一问中函数表达式，即可解得a的值．
（3）根据题目中给出的信息可以先求得点M、N的坐标，由题意可知点P在线段MN的垂直平分线上并且在抛物线上，从而可以求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵m°n=mn（其中m，n是实数），y=x°（a°x+b）+2，
∴y=x（ax+b）+2=ax²+bx+2．
即：y=ax²+bx+2．
（2）∵当x=b-1时，y=y₁；
当x=b+1时，y=y₂；y₁=y₂，
∴a（b-1）²+b（b-1）+2=a（b+1）²+b（b+1）+2．
化简，得-2ab=b．
∴$a=-\frac{1}{2}$（b≠0）．
（3）存在点P使得△PMN是等腰三角形．
理由：∵点（a，2ab+2）在直线y=kx+2上，
∴ka+2=2ab+2．
解得，k=2b．
∴直线y=2b+2．
又∵直线y=kx+2与函数y=x°（a°x+b）+2交于点M，N，
即直线y=2bx+2与函数y=ax²+bx+2交于点M，N，
∵点（0，2）在直线y=2bx+2和函数y=ax²+bx+2上，
∴设点M的坐标为（0，2），点N的坐标为（x_n，y_n），
∵∠MAN=90°，A点的坐标为（b，0），
∴$\frac{2}{0-b}×\frac{{y}_{n}}{{x}_{n}-b}=-1$…①
∵点N（x_n，y_n）在直线y=2bx+2上和函数y=ax²+bx+2上，其中a=-$\frac{1}{2}$，
∴y_n=2bx_n+2…②
${y}_{n}=-\frac{1}{2}{{x}_{n}}^{2}+b{x}_{n}+2$…③
由①②③可以解得，$b=\frac{2\sqrt{5}}{5}，{x}_{n}=-\frac{4\sqrt{5}}{5}，{y}_{n}=-\frac{6}{5}$或$b=-\frac{2\sqrt{5}}{5}，{x}_{n}=\frac{4\sqrt{5}}{5}，{y}_{n}=-\frac{6}{5}$．
函数y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x+2时，点N的坐标为（$-\frac{4\sqrt{5}}{5}，-\frac{6}{5}$）；
函数y=-$\frac{1}{2}$${x}^{2}-\frac{2\sqrt{5}}{5}x$+2时，点N的坐标为（$\frac{4\sqrt{5}}{5}，-\frac{6}{5}$）．
第一种情况：函数y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x+2时，点N的坐标为（$-\frac{4\sqrt{5}}{5}，-\frac{6}{5}$），点M的坐标为（0，2），设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x+2），
则点P在线段MN的垂直平分线上，线段MN的中点坐标为（$-\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2}{5}$）．
∴线段MN的垂直平分线为：y=$-\frac{4\sqrt{5}}{5}x-\frac{6}{5}$．
∵点P（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x+2）在y=$-\frac{4\sqrt{5}}{5}x-\frac{6}{5}$上，
∴可得点P的坐标为：（$\frac{6\sqrt{5}+2\sqrt{85}}{5}，-\frac{30+8\sqrt{17}}{5}$）或（$\frac{6\sqrt{5}-2\sqrt{85}}{5}，-\frac{30-8\sqrt{17}}{5}$）．
第二种情况：函数y=-$\frac{1}{2}$${x}^{2}-\frac{2\sqrt{5}}{5}x$+2时，点N的坐标为（$\frac{4\sqrt{5}}{5}，-\frac{6}{5}$），点M的坐标为（0，2），设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$${x}^{2}-\frac{2\sqrt{5}}{5}x$+2），
则点P在线段MN的垂直平分线上，线段MN的中点坐标为（$\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2}{5}$）．
∴线段MN的垂直平分线为：y=$\frac{4\sqrt{5}}{5}x-\frac{6}{5}$．
∵点P（x，-$\frac{1}{2}$${x}^{2}-\frac{2\sqrt{5}}{5}x$+2）在y=$\frac{4\sqrt{5}}{5}x-\frac{6}{5}$上，
∴点P的坐标为：（$\frac{-6\sqrt{5}+2\sqrt{85}}{5}，\frac{-30+8\sqrt{17}}{5}$）或（$\frac{-6\sqrt{5}-2\sqrt{85}}{5}，\frac{-30-8\sqrt{17}}{5}$）．

点评 本题考查对新定义的理解与应用、探究性问题、分类讨论的数学思想贯穿其中，解题的关键是分清题意，找出所求问题需要的条件，灵活变化，认真计算．