Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，1）、（0，2）之间（不含端点），则下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③-$\frac{2}{3}$＜a＜-$\frac{1}{3}$；④$\frac{4}{3}$＜n＜$\frac{8}{3}$中，
正确的是①③④．

Answer 1

分析 ①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（-1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；
②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a，将其代入3a+b，并判定其符号；
③根据两根之积$\frac{c}{a}$=-3，得到a=-$\frac{c}{3}$，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；
④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=$\frac{4}{3}$c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．

解答 解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；

②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；

③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
∴$\frac{c}{a}$=-3，则a=-$\frac{c}{3}$．
∵抛物线与y轴的交点在（0，1）、（0，2）之间（不包含端点），
∴1＜c＜2
∴-$\frac{2}{3}$＜-$\frac{c}{3}$＜-$\frac{1}{3}$，即-$\frac{2}{3}$＜a＜-$\frac{1}{3}$．
故③正确；

④根据题意知，a=-$\frac{c}{3}$，-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a=$\frac{2c}{3}$
n=a+b+c=$\frac{4}{3}$c
∵1＜c＜2，
∴$\frac{4}{3}$＜$\frac{4c}{3}$＜$\frac{8}{3}$，即$\frac{4}{3}$＜n＜$\frac{8}{3}$．
故④正确．
综上所述，正确的说法有①③④，
故答案为：①③④．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax²+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．