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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
    （1）求直线AB的解析式；
    （2）当点P运动到点（
    		3
    ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
    （3）是否存在点P，使△OPD的面积等于
    		3
    4
    ？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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    分析：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．
    （2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
    （3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：
    ①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．
    ②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即-
    4
    		3
    3
    ＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．
    ③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤-
    4
    		3
    3
    时，方法同②．
    综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．
    解答：精英家教网解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：
    BF=OE=2，OF=
    		42-22
    =2
    		3
    ，
    ∴点B的坐标是（2
    		3
    ，2）
    设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有
    4=b
    2=2
    		3
    k+b
    ．
    解得
    k=-
    		3
    3
    b=4
    ．
    ∴直线AB的解析式是y=-
    		3
    3
    x+4；
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    （2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，
    ∴△ABD≌△AOP，
    ∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
    ∴∠DAP=∠BAO=60°，
    ∴△ADP是等边三角形，
    ∴DP=AP=
    		42+(
    		3
    )    2
    =
    		19
    ．
    如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．
    方法（一）
    在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
    ∴BG=BD•cos60°=
    		3
    ×
    1
    2
    =
    		3
    2
    ．
    DG=BD•sin60°=
    		3
    ×
    		3
    2
    =
    3
    2
    ．
    ∴OH=EG=
    5
    2
    		3
    ，DH=
    7
    2

    ∴点D的坐标为（
    5
    2
    		3
    ，
    7
    2
    ）
    方法（二）
    易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，
    ∴
    BG
    AE
    =
    DG
    BE
    =
    BD
    AB
    ；而AE=2，BD=OP=
    		3
    ，BE=2
    		3
    ，AB=4，
    则有
    BG
    2
    =
    DG
    2
    		3
    =
    		3
    4
    ，解得BG=
    		3
    2
    ，DG=
    3
    2
    ；
    ∴OH=
    5
    2
    		3
    ，DH=
    7
    2
    ；
    ∴点D的坐标为（
    5
    2
    		3
    ，
    7
    2
    ）．

    （3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于
    		3
    4
    ．
    设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
    ①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=
    		3
    2
    t，
    ∴DH=2+
    		3
    2
    t．
    ∵△OPD的面积等于
    		3
    4
    ，
    ∴
    1
    2
    t(2+
    		3
    2
    t)=
    		3
    4
    ，
    解得t1=
    		21
    -2
    		3
    3
    ，t2=
    -
    		21
    -2
    		3
    3
    （舍去）
    ∴点P1的坐标为（
    		21
    -2
    		3
    3
    ，0）．
    ②∵当D在x轴上时，根据勾股定理求出BD=
    4
    		3
    3
    =OP，
    ∴当-
    4
    		3
    3
    ＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，DG=-
    		3
    2
    t，
    ∴GH=BF=2-（-
    		3
    2
    t）=2+
    		3
    2
    t．精英家教网
    ∵△OPD的面积等于
    		3
    4
    ，
    ∴-
    1
    2
    t(2+
    		3
    2
    t)=
    		3
    4
    ，
    解得t1=-
    		3
    3
    ，t2=-
    		3
    ，
    ∴点P2的坐标为（-
    		3
    3
    ，0），点P3的坐标为（-
    		3
    ，0）．
    ③当t≤-
    4
    		3
    3
    时，如图3，BD=OP=-t，DG=-
    		3
    2
    t，

    ∴DH=-
    		3
    2
    t-2．
    ∵△OPD的面积等于
    		3
    4
    ，
    ∴
    1
    2
    （-t）【-（2+
    		3
    2
    t）】=
    		3
    4
    ，
    解得t1=
    		21
    -2
    		3
    3
    （舍去），t2=
    -
    		21
    -2
    		3
    3

    ∴点P4的坐标为（
    -
    		21
    -2
    		3
    3
    ，0），
    综上所述，点P的坐标分别为P1（
    		21
    -2
    		3
    3
    ，0）、P2（-
    		3
    3
    ，0）、P3（-
    		3
    ，0）、
    P4（
    -
    		21
    -2
    		3
    3
    ，0）．
    点评：本题综合考查的是一次函数的应用，难度较大．
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    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作
    （2，2）
    ．

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    		2
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    （1）点A的坐标为
    （-3，2
    		2
    ）
    （-3，2
    		2
    ）
    ，点B的坐为
    (-3-2
    		2
    ，0)
    (-3-2
    		2
    ，0)
    ；
    （2）求以原点O为顶点且过点A的抛物线的解析式；
    （3）现三角板ABC以1cm/s的速度沿x轴正方向平移，则平移的时间为多少秒时，三角板的边所在直线与半径为2cm的⊙O相切？

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    (2)根据表中的数据，将s作为纵坐标，n作为横坐标，在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点．

    (3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函数的解析式，并利用你探求的结果，求出当n＝10时，s的值．

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    （2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为（），点的坐为．

     

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    （1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作______．

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