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如图1,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当点P运动到点(
3
,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于
3
4
?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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分析:(1)过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.依题意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得点B的坐标.设直线AB的解析式是y=kx+b,把已知坐标代入可求解.
(2)由△ABD由△AOP旋转得到,证明△ABD≌△AOP.AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等边三角形.利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函数求出BG=BD•cos60°,DG=BD•sin60°.然后求出OH,DH,然后求出点D的坐标.
(3)本题分三种情况进行讨论,设点P的坐标为(t,0):
①当P在x轴正半轴上时,即t>0时,关键是求出D点的纵坐标,方法同(2),在直角三角形DBG中,可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式,即可求出DH的长,根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程,即可求出t的值.
②当P在x轴负半轴,但D在x轴上方时.即-
4
3
3
<t≤0时,方法同①类似,也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG,进而求出GF的长,然后同①.
③当P在x轴负半轴,D在x轴下方时,即t≤-
4
3
3
时,方法同②.
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值.
解答:精英家教网解:(1)如图1,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.由已知得:
BF=OE=2,OF=
42-22
=2
3

∴点B的坐标是(2
3
,2)
设直线AB的解析式是y=kx+b(k≠0),则有
4=b
2=2
3
k+b

解得
k=-
3
3
b=4

∴直线AB的解析式是y=-
3
3
x+4;
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(2)如图2,∵△ABD由△AOP旋转得到,
∴△ABD≌△AOP,
∴AP=AD,∠DAB=∠PAO,
∴∠DAP=∠BAO=60°,
∴△ADP是等边三角形,
∴DP=AP=
42+(
3
)
2
=
19

如图2,过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.
方法(一)
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.
∴BG=BD•cos60°=
3
×
1
2
=
3
2

DG=BD•sin60°=
3
×
3
2
=
3
2

∴OH=EG=
5
2
3
,DH=
7
2

∴点D的坐标为(
5
2
3
7
2

方法(二)
易得∠AEB=∠BGD=90°,∠ABE=∠BDG,∴△ABE∽△BDG,
BG
AE
=
DG
BE
=
BD
AB
;而AE=2,BD=OP=
3
,BE=2
3
,AB=4,
则有
BG
2
=
DG
2
3
=
3
4
,解得BG=
3
2
,DG=
3
2

∴OH=
5
2
3
,DH=
7
2

∴点D的坐标为(
5
2
3
7
2
).

(3)假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于
3
4

设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:
①当t>0时,如图,BD=OP=t,DG=
3
2
t,
∴DH=2+
3
2
t.
∵△OPD的面积等于
3
4

1
2
t(2+
3
2
t)=
3
4

解得t1=
21
-2
3
3
t2=
-
21
-2
3
3
(舍去)
∴点P1的坐标为(
21
-2
3
3
,0).
②∵当D在x轴上时,根据勾股定理求出BD=
4
3
3
=OP,
∴当-
4
3
3
<t≤0时,如图,BD=OP=-t,DG=-
3
2
t,
∴GH=BF=2-(-
3
2
t)=2+
3
2
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∵△OPD的面积等于
3
4

-
1
2
t(2+
3
2
t)=
3
4

解得t1=-
3
3
t2=-
3

∴点P2的坐标为(-
3
3
,0),点P3的坐标为(-
3
,0).
③当t≤-
4
3
3
时,如图3,BD=OP=-t,DG=-
3
2
t,

∴DH=-
3
2
t-2.
∵△OPD的面积等于
3
4

1
2
(-t)【-(2+
3
2
t)】=
3
4

解得t1=
21
-2
3
3
(舍去),t2=
-
21
-2
3
3

∴点P4的坐标为(
-
21
-2
3
3
,0),
综上所述,点P的坐标分别为P1
21
-2
3
3
,0)、P2-
3
3
,0)、P3-
3
,0)、
P4
-
21
-2
3
3
,0).
点评:本题综合考查的是一次函数的应用,难度较大.
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