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如图1,已知矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0)
(1)当x取何值时,该抛物线取最大值?该抛物线的最大值是多少?
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5?若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据O、E的坐标即可确定抛物线的解析式,进而求出其顶点坐标,即可得出所求的结论;
(2)①当t=时,OA=AP=,由此可求出P点的坐标,将其代入抛物线的解析式中进行验证即可;
②此题要分成两种情况讨论:
一、PN=0时,即t=0或t=3时,以P、N、C、D为顶点的多边形是△PCD,以CD为底AD长为高即可求出其面积;
二、PN≠0时,即0<t<3时,以P、N、C、D为顶点的多边形是梯形PNCD,根据抛物线的解析式可表示出N点的纵坐标,从而得出PN的长,根据梯形的面积公式即可求出此时S、t的函数关系式,令S=5,可得到关于t的方程,若方程有解,根据求得的t值即可确定N点的坐标,若方程无解,则说明以P、N、C、D为顶点的多边形的面积不可能为5.
解答:解:(1)因抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O(0,0)和点E(4,0),
故可得c=0,b=4,
所以抛物线的解析式为y=-x2+4x(1分),
由y=-x2+4x,y=-(x-2)2+4,
得当x=2时,该抛物线的最大值是4;(2分)

(2)①点P不在直线ME上;
已知M点的坐标为(2,4),E点的坐标为(4,0),
设直线ME的关系式为y=kx+a;
于是得,
解得:
所以直线ME的关系式为y=-2x+8;(3分)
由已知条件易得,当t=时,OA=AP=,P()(4分)
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8;
∴当t=时,点P不在直线ME上;(5分)
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,
∴OA=AP=t;
∴点P、N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t)(6分)
∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),
∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,
∴PN=-t2+3t(7分)
(ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,
∴S=DC•AD=×3×2=3;
(ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD,AD⊥CD,
∴S=(CD+PN)•AD=[3+(-t2+3t)]×2=-t2+3t+3(8分)
当-t2+3t+3=5时,解得t=1、2(9分)
而1、2都在0≤t≤3范围内,故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述,当t=1、2时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积为5,
当t=1时,此时N点的坐标(1,3)(10分)
当t=2时,此时N点的坐标(2,4).(11分)
说明:(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合,(故在阅卷时没有(ⅰ),只有(ⅱ)也可以,不扣分)
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及二次函数的应用.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
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22、如图1,已知矩形ABED,点C是边DE的中点,且AB=2AD.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)保持图1中△ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中(当垂线段AD、BE在直线MN的同侧),试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明;
(3)保持图2中△ABC固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明.

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(1)当x取何值时,该抛物线取最大值?该抛物线的最大值是多少?
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①当t=
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时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5?若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能,请说明理由.
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如图1,已知矩形OABC中,OC=10,OA=6,在OA、OC边上选取适当的点E、F,将△OEF沿EF对折,使O点落在AB边上的D点.
(1)当点E取在点A上,得图2,求出相应的OF的长;
(2)写出OF的取值范围;
(3)在如图1中过点D作DG∥AO交EF于点T,交OC于点G,连接OT,得到图3
①证明四边形OEDT是菱形;
②设AD长为x,请你利用所学的函数及其图象的有关知识判断,当x取什么值时,菱形OEDT的周长L取最大值,并求出周长L的最大值.
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(2012•宝安区二模)如图1,已知矩形ABCD中,AB=
4
3
BC
,O是矩形ABCD的中心,过点O作OE⊥AB于E,作OF⊥BC于F,得矩形BEOF.
(1)线段AE与CF的数量关系是
AE=
4
3
CF;
AE=
4
3
CF;
,直线AE与CF的位置关系是
AE⊥CF
AE⊥CF

(2)固定矩形ABCD,将矩形BEOF绕点B顺时针旋转到如图2的位置,连接AE、CF.那么(1)中的结论是否依然成立?请说明理由;
(3)若AB=8,当矩形BEOF旋转至点O在CF上时(如图3),设OE与BC交于点P,求PC的长.

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