Question

如图1，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP•OP′=r²，这把点P变为点P的变换叫做反演变换，点P与点P′叫做互为反演点．
（1）如图2，⊙O内外各一点A和B，它们的反演点分别为A和B′．求证：∠A′=∠B；
（2）如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．

①选择：如果不经过点O的直线l与⊙O相交，那么它关于⊙O的反演图形是
A、一个圆；B、一条直线；C、一条线段；D、两条射线
②填空：如果直线l与⊙O相切，那么它关于⊙O的反演图形是______，该图形与圆O的位置关系是______．

Answer 1

解：（1）由题意知：OA•OA′=OB•OB′=r²，，
∵∠AOB=∠B′OA′，
∴△AOB∽△B′OA′，
∴∠A′=∠B，

（2）①选择A；
②圆；内切．
分析：（1）根据题中给出的条件可得出OB•OB′=OA•OA′=r²，将等积式转换为比例式后即可得出△OAB和△OBA相似，由此可证得所求的条件．
（2）①应该是一个过O点过两个交点的圆，反演图形中圆和直线都看成圆的话，结论会很简单，一个圆关于⊙O反演图形仍然是圆，这时直线可以看成圆心无限远半径无限大的圆，
根据OP•OP′=r²知：
⊙O外的点的反演点在⊙O内；
⊙O内的点的反演点在⊙O外；
⊙O上的点的反演点在⊙O上；
直线与⊙O相交的点的反演点还是该点，
直线上的无穷远处的点反演到圆心，
于是三点确定一个圆．
②如果直线l与⊙O相切，那么它关于⊙O的反演图形是过切点和O点的圆，该图形与圆O的位置关系是内切，既然直线只与⊙O有一个交点，那么反演图形与⊙O只有一个交点，即相切．
直线l上有无限远点，于是反演图形过⊙O，于是反演图形为⊙O的内切圆．
点评：本题定义三个概念即反演变换、反演点、反演图形．第一问的求解，是在理解题意的基础上直接引用，把等积式转换为比例式．第二问的求救，则需从特殊到一般的分析、归纳、猜想，其中还渗透着无限逼近的思想．