Question

如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，取AB边的中点F，连接CF、CE，CF分别于AD、DE交于点P、Q．有以下结论：①∠CAE=30°；②AC垂直平分DE；③四边形AFCE是矩形；④点P、Q是线段CF的三等分点．其中正确的结论是

 

．（在横线上写出正确结论的序号）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等边三角形的性质,矩形的判定

专题：常规题型

分析：根据等边三角形三线合一的特点，易求得∠DAC=30°，则∠CAE=∠DAE-∠DAC=30°；接着利用等边三角形的性质判断AC垂直平分DE；根据等边三角形的性质得CF⊥AB，而∠FAE=90°，得到AE∥CF，由于CF=AD=AE，判断四边形AECF是平行四边形，根据∠CFA=∠FAE=90°可判定四边形AFCE是矩形；根据重心的性质得PE=2PF，再证明QD=QP，QD=QC，于是得到CQ=QP=PF．

解答：解：∵△ABC是等边三角形，且D是BC中点，
∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=

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∠BAC=30°；
∵△DAE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°，所以①正确；
∴AC平分∠DAE，
∴AC垂直平分DE，所以②正确；
∵等边△ABC的AB边的中点为F，
∴CF⊥AB，
∴∠CFA=90°，
而∠FAE=∠FAC+∠CAE=60°+30°=90°，
∴AE∥CF，
∵AD和CF都是等边△ABC的高，
∴AD=CF，
∴CF=AE，
∴四边形AFCE是矩形，所以③正确；
∵点P为中线AD与CF的交点，
∴CP=2PF，
∵∠FAP=30°，
∴∠APF=∠DPQ=60°，
∵∠ADQ=60°，
∴QP=QD，
∵∠DCQ=30°，∠CDQ=90°-∠ADE=30°，
∴QD=QC，
∴CQ=QP=PF，即点P、Q是线段CF的三等分点，所以④正确．
故答案为①②③④．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的性质和矩形的判定方法．