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    10．如图，平面直角坐标系中有一四边形ABCD，直线m是四边形ABCD的对称轴，它与x轴相交于点E（1，0），顶点A（-1，0）的对称点为点B，顶点D（0，3）的对称点为点C．
    （1）点B的坐标是（3，0），点C的坐标是（2，3）；
    （2）在直线m上是否存在一点M，使得△MBC的周长最短？若存在，求出点M的坐标及△MBC的最短周长；若不存在，请说明理由．
    （3）若直线m绕点E旋转360°，旋转过程中m将四边形ABCD分成面积为1：5的两部分，求此时直线m的函数表达式．

    分析 （1）根据对称性写出B、C两点的坐标；
    （2）因为C与D是对称点，所以连接BD与直线m的交点就是所求的点M，此时△MBC的周长最短，分别利用勾股定理求出BD和BC的长，相加即可；
    （3）先求四边形ABCD的面积为9，因为直线m绕点E旋转360°，则某一三角形的一边为AE或BE，且AE=BE=2，因为分成面积为1：5的两部分，而S△ADE和S△BCE为3，所以该直线在直线DE或直线CE的下方，根据面积可分别求出对应的高FG=$\frac{3}{2}$，要两种情况分别求出直线m的解析式．

    解答 解：（1）∵四边形ABCD的对称轴是：直线m=1，
    由对称得：B（3，0），C（2，3），
    故答案为：（3，0）；（2，3）；
    （2）连接BD交直线m于M，连接CM，此时△MBC的周长最短，
    ∵m是对称轴，
    ∴m是线段CD的中垂线，
    ∴DM=CM，
    ∴CM+BM=DM+BM，
    在Rt△DOB中，∵OD=3，OB=3，
    ∴BD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
    ∴CM+BM=BD=3$\sqrt{2}$，
    过C作CF⊥x轴于F，
    ∵C（2，3），B（3，0），
    ∴BF=3-2=1，CF=3，
    由勾股定理得：BC=$\sqrt{B{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
    ∴△BMC的周长=CM+BM+BC=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$；
    （3）由题意得：四边形ABCD为梯形
    ∴S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$（DC+AB）×OD=$\frac{1}{2}$×（2+4）×3=9
    ∵旋转过程中m将四边形ABCD分成面积为1：5的两部分，
    分两种情况：
    ①如图2，S△AFE：S五边形EFDCB=1：5，
    过F作FG⊥AB于G，
    ∴S△AFE=$\frac{1}{2}$×2×FG=9×$\frac{1}{6}$，
    ∴FG=$\frac{3}{2}$，
    ∵FG∥OD，
    ∴△AFG∽△ADO，
    ∴$\frac{FG}{OD}=\frac{AG}{AO}$，
    ∴$\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{AG}{1}$，
    ∴AG=$\frac{1}{2}$，
    ∴OG=$\frac{1}{2}$，
    ∴F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
    设直线m的解析式为：y=kx+b，
    把F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），E（1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
    ∴直线m的解析式为：y=-x+1；
    ②如图3，S五边形AEFCD：S△BEF=5：1，
    过F作FG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则FG∥CH，
    同理可求得：FG=$\frac{3}{2}$，BG=$\frac{1}{2}$，
    ∴OG=OB-BG=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
    ∴F（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），
    设直线m的解析式为：y=kx+b，
    把F（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）、E（1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
    ∴直线m的解析式为：y=x-1，
    综上所述，此时直线m的函数表达式为y=-x+1或y=x-1．

    点评 本题是四边形的综合题，考查了梯形、轴对称、相似三角形的性质和判定、以及最短路径问题，明确对称轴是对称点连线的中垂线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，与函数相结合，利用待定系数法求一次函数的解析式，第3问难度较大，运用了分类讨论的思想，注意分成面积为1：5的两部分，利用数形结合的思想解决此问题．

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