Question

10．关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）若要证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明△＞0即可；
（2）此题要分两种情况进行讨论，若AB=BC=5时，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC时，则△=0，列出关于k的方程，解出k的值即可．

解答 （1）证明：∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0  
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：若AB=BC=5时，5是方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的实数根，
把x=5代入原方程，
得k=5或k=4．
由（1）知，无论k取何值，△＞0，所以AB≠AC，故k只能取5或4．

点评 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件．