Question

【题目】合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题．

问题情境：

正方形ABCD中，点P是射线DB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，点Q与点P关于点E对称，连接CQ，设∠DAP＝α(0°＜α＜135°)，∠QCE＝β．

初步探究：

(1)如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了0°＜α＜45°时的情形，射线AP与边CD交于点F．他们得出此时α与β的关系是β＝2α．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段BC的延长线上(如图2)时，α＝　 　°，β＝　 　°；

深入探究：

(2)敏学小组的同学画出45°＜α＜90°时的图形如图3，射线AP与边BC交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论；

拓展延伸：

(3)请你借助图4进一步探究：①当90°＜α＜135°时，α与β之间的等量关系为　 　；

②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当α＝β时，PQ的长为　 　．

Answer 1

【答案】(1)30，60；(2)α与β的关系是β＝2(90°﹣α)；理由见解析；(3)①β＝2(α﹣90°)；②6﹣2．

【解析】

初步探究：（1）连接PC，由对称的性质和等腰三角形的性质得出∠QCE=∠PCE，证明△ABP≌△CBP，得出∠BAP=∠BCP，由平行线得出∠CQE=∠DAP=α，证出α+β=90°①，再证出β=2α②，即可得出结果；

深入探究：（2）连接PC，由对称的性质和等腰三角形的性质得出∠QCE=∠PCE，证明△ABP≌△CBP，得出∠BAP=∠BCP=∠BAD-∠DAP=90°-α，AP=CP，证出∠BAP=∠GCE，得出∠BCG=∠GCE=90°-α，即可得出结论；

拓展延伸：（3）①连接PC，证出∠PCE=∠QCE=β，证明△ABP≌△CBP，得出∠BAP=∠BCP=∠DAP-∠BAD=α-90°，证明∠BAP=∠BCH，得出∠BCP=∠BCH=∠BAP=α-90°，即可得出结论；

②分三种情况：

当0°＜α＜45°时，β=2α，不合题意；

当45°＜α＜90°时，β=2（90°-α），得出α=β=60°，作PM⊥AD于M，证出AM=AP，DM=PM=AM，设AM=x，则CP=AP=2x，DM=PM=x，得出方程，解得：x=，得出CP=AP=2x=2-2，在△PCQ中，求出CE=CP=-1，PE=CE=3-，得出PQ=2PE=6-2；

当90°＜α＜135°时，β=2（α-90°），得出α=β=180°，不合题意．

解：(1)连接PC，如图2所示：

∵点Q与点P关于点E对称，

∴EP＝EQ，

∵CE⊥AP，

∴CE垂直平分PQ，

∴CP＝CQ，

∴∠QCE＝∠PCE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，AD∥BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，

在△ABP和△CBP中，，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴∠BAP＝∠BCP，

∵AD∥BC，

∴∠CQE＝∠DAP＝α，

∵CE⊥AP，

∴∠CQE+∠QCE＝90°，即α+β＝90°①，

∵∠CQE+∠BAP＝90°，

∴∠QCE＝∠BAP＝∠BCP，

∵∠BCP＝∠CQE+∠CPQ，

∴β＝2α②，

由①②得：α＝30°，β＝60°；

故答案为：30，60；

深入探究：

(2)α与β的关系是β＝2(90°﹣α)；理由如下：

连接PC，如图3所示：

∵点Q与点P关于点E对称，

∴EP＝EQ，

∵CE⊥AP，

∴CE垂直平分PQ，

∴CP＝CQ，

∴∠QCE＝∠PCE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，

在△ABP和△CBP中，，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴∠BAP＝∠BCP＝∠BAD﹣∠DAP＝90°﹣α，AP＝CP，

∵∠ABG＝∠CEG＝90°，

∴∠BAP+∠AGB＝90°，∠GCE+∠CGE＝90°，

∵∠AGB＝∠CGE，

∴∠BAP＝∠GCE，

∴∠BCG＝∠GCE＝90°﹣α，

∴∠QCE＝2∠GCE＝2(90°﹣α)，

即：β＝2(90°﹣α)；

拓展延伸：

(3)①当90°＜α＜135°时，α与β之间的等量关系为β＝2(α﹣90°)；理由如下：

连接PC，设CE交AB于点H，如图4所示：

∵点Q与点P关于点E对称，

∴EP＝EQ，

∵CE⊥AP，

∴CE垂直平分PQ，

∴CP＝CQ，

∴∠PCE＝∠QCE＝β，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，

∴∠ABP＝∠CBP，

在△ABP和△CBP中，，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴∠BAP＝∠BCP＝∠DAP﹣∠BAD＝α﹣90°，

∵∠AEH＝∠CBH＝90°，

∴∠BAP+∠AHE＝90°，∠BCH+∠BHC＝90°，

∵∠AHE＝∠CHB，

∴∠BAP＝∠BCH，

∴∠BCP＝∠BCH＝∠BAP＝α﹣90°，

∴∠QCE＝∠PCE＝2∠BCP＝2(α﹣90°)，

即：β＝2(α﹣90°)；

故答案为：β＝2(α﹣90°)；

②当0°＜α＜45°时，β＝2α，不合题意；

当45°＜α＜90°时，β＝2(90°﹣α)，

∵α＝β，

∴α＝β＝60°，

作PM⊥AD于M，如图5所示：

∵∠APM＝90°﹣α＝30°，∠PDM＝45°，

∴AM＝AP，DM＝PM＝AM，

设AM＝x，则CP＝AP＝2x，DM＝PM＝x，

∵AD＝2，

∴x+x＝2，

解得：x＝﹣1，

∴CP＝AP＝2x＝2﹣，

∵∠PCQ＝2β＝120°，CP＝CQ，CE⊥AP，

∴∠CPE＝30°，PE＝QE，

∴CE＝CP＝﹣1，PE＝CE＝3﹣，

∴PQ＝2PE＝6﹣2；

当90°＜α＜135°时，β＝2(α﹣90°)，

∵α＝β，

∴α＝β＝180°，不合题意；

综上所述，在点P运动过程中，当α＝β时，PQ的长为6﹣2；

故答案为：6﹣2．