【题目】已知在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点A、B(点A在点B的左侧),且AB=6.
(1)求这条抛物线的对称轴及表达式;
(2)在y轴上取点E(0,2),点F为第一象限内抛物线上一点,联结BF、EF,如果,求点F的坐标;
(3)在第(2)小题的条件下,点F在抛物线对称轴右侧,点P在轴上且在点B左侧,如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF,求点P的坐标.
【答案】(1),对称轴;(2)或;(3)
【解析】
(1)先将抛物线表达式化为顶点式,得出对称轴x=1,再根据抛物线与x轴两交点的距离为6,可以得出A,B两点的坐标,进而可求出解析式.
(2)利用S四边形OEFB=S△OEF+S△OBF列方程求解.
(3)找出两等角所在的三角形,构造一组相似三角形求解.
解:(1)将化为一般式得,
,
∴这条抛物线的对称轴为x=1.
又抛物线与轴交于点A、B(点A在点B的左侧),且AB=6,
∴根据对称性可得A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(4,0).
将A点坐标代入解析式,可解得m=,
∴所求抛物线的解析式为.
(2)设点F的坐标为(t, t2+t+4),如图1可知
S四边形OEFB=S△OEF+S△OBF
=×2×t+×4×(t2+t+4)=10,
解得,t=1或t=2,
∴点F的坐标为或.
(3)假设直线PF与y轴交于点H,抛物线与y轴交于点C,连接CF,
则根据题意得∠FHC=∠EBF,
由(2)得点F的坐标为(2,4),又点C坐标为(0,4),
∴CF∥x轴,
过点F作FG⊥BE于点G,
有△CFH∽△GFB.
在△BEF中,根据已知点坐标可以求得BE=BF=2,EF=2,
根据面积法可求得FG=,∴BG=
设直线FP的解释式为y=kx+b,则OH=b,
∴CH=4-b,
∴
∴解得b=.
将点F的坐标(2,4)代入FP的解析式可得,k=,
即FP的解析式为y=x+,
令y=0,可得P点坐标为(-1,0).
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【题目】如图,直线AB与反比例函数的图象交于点A已知点,点C是反比例函数的图象上的一个动点过点C作x轴的垂线,交直线AB于点D.
(1)求k的值.
(2)若,求的面积.
(3)在点C运动的过程中,是否存在点C,使?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知矩形ABCD的两条边AB=1,AD=,以B为旋转中心,将对角线BD顺时针旋转60°得到线段BE,再以C为圆心将线段CD顺时针旋转90°得到线段CF,连接EF,则图中阴影部分面积为_____.
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【题目】如图,△ABC内接与⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于AC点E,交PC于点F,连接AF.
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若⊙O的半径为4,AF=3,求AC的长.
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【题目】抛物线中,函数值y与自变量之间的部分对应关系如下表:
… | 0 | 1 | … | ||||
y | … | 0 | … |
(1)求该抛物线的表达式;
(2)如果将该抛物线平移,使它的顶点移到点M(2,4)的位置,那么其平移的方法是____________.
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【题目】如图,一般捕鱼船在A处发出求救信号,位于A处正西方向的B处有一艘救援艇决定前去数援,但两船之间有大片暗礁,无法直线到达.救援艇决定马上调整方向,先向北偏东方以每小时30海里的速度航行,同时捕鱼船向正北低速航行.30分钟后,捕鱼船到达距离A处海里的D处,此时救援艇在C处测得D处在南偏东的方向上.
求C、D两点的距离;
捕鱼船继续低速向北航行,救援艇决定再次调整航向,沿CE方向前去救援,并且捕鱼船和救援艇同达时到E处,若两船航速不变,求的正弦值.参考数据:,,
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【题目】已知:在平行四边形ABCD中,AB︰BC=3︰2.
(1)根据条件画图:作∠BCD的平分线,交边AB于点E,取线段BE的中点F,连接DF交CE于点G.
(2)设,那么向量=______.(用向量、表示),并在图中画出向量在向量和方向上的分向量.
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【题目】已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.
(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证: ;
(2)如图②,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得成立?并证明你的结论.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=1.分析下列5个结论:①2c<3b;②若0<x<3,则ax2+bx+c>0;③;④(k为实数);⑤(m为实数).其中正确的结论个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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