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【题目】已知在平面直角坐标系中,抛物线轴交于点AB(点A在点B的左侧),且AB=6.

1)求这条抛物线的对称轴及表达式;

2)在y轴上取点E0,2),点F为第一象限内抛物线上一点,联结BFEF,如果,求点F的坐标;

3)在第(2)小题的条件下,点F在抛物线对称轴右侧,点P轴上且在点B左侧,如果直线PFy轴的夹角等于∠EBF,求点P的坐标.

【答案】1,对称轴;(2;(3

【解析】

1)先将抛物线表达式化为顶点式,得出对称轴x=1,再根据抛物线与x轴两交点的距离为6,可以得出A,B两点的坐标,进而可求出解析式.

2)利用S四边形OEFB=SOEF+SOBF列方程求解.

3)找出两等角所在的三角形,构造一组相似三角形求解.

解:(1)将化为一般式得,

∴这条抛物线的对称轴为x=1.

又抛物线与轴交于点AB(点A在点B的左侧),且AB=6

∴根据对称性可得A,B两点的坐标分别为A(-20),B(40).

A点坐标代入解析式,可解得m=,

∴所求抛物线的解析式为.

2)设点F的坐标为(t, t2+t+4),如图1可知

S四边形OEFB=SOEF+SOBF

=×2×t+×4×(t2+t+4=10

解得,t=1t=2,

∴点F的坐标为.

3)假设直线PFy轴交于点H,抛物线与y轴交于点C,连接CF

则根据题意得∠FHC=EBF,

由(2)得点F的坐标为(2,4),又点C坐标为(0,4),

CFx轴,

过点FFGBE于点G

有△CFH∽△GFB.

在△BEF中,根据已知点坐标可以求得BE=BF=2EF=2

根据面积法可求得FG=,BG=

设直线FP的解释式为y=kx+b,OH=b,

CH=4-b,

解得b=.

将点F的坐标(2,4)代入FP的解析式可得,k=,

FP的解析式为y=x+,

y=0,可得P点坐标为(-1,0.

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