Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（4，4），反比例函数的图象经过线段BC的中点D，交正方形OABC的另一边AB于点E．

（1）求k的值；

（2）如图①，若点P是x轴上的动点，连接PE，PD，DE，当△DEP的周长最短时，求点P的坐标；

（3）如图②，若点Q（x，y）在该反比例函数图象上运动（不与D重合），过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，作QN⊥BC所在直线，垂足为N，记四边形CMQN的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）8 ；（2）（）；（3）S=8-4x，0<x＜2；S=4x-8,x>2

【解析】

（1）首先根据题意求出C点的坐标，然后根据中点坐标公式求出D点坐标，由反比例函数y=（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D，D点坐标代入解析式求出k即可；

（2）根据轴对称的性质找到点P的位置：作点E关于x轴的对称点E′，连接DE′，交x轴于点P，求得直线DE′与x轴的交点坐标即可；

（3）分两步进行解答，①当Q在直线BC的上方时，即0＜x＜2，如图1，根据S四边形CMQN=CNQD列出S关于x的解析式，②当Q在直线BC的下方时，即x＞2，如图2，依然根据S四边形CMQN=CNQD列出S关于x的解析式．

（1）如图①，

∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，4），

∴C（0，4），

∵D是BC的中点，

∴D（2，4），

∵反比例函数y=（x＞0，k≠0）的图象经过点D，

∴k=8；

（2）如图①，作点E关于x轴的对称点E′，连接DE′，交x轴于点P，

把x=4代入y=，得y=2，则E（4，2），

故点E关于x轴对称的点E′（4，-2），

设直线DE′的方程为y=kx+b（k≠0），

将D（2，4），E′（4，-2）分别代入得到：，

解得，

故直线DE′的方程为y=-3x+10，

当y=0时，x=，

即P（，0）；
（3）如图②，

当Q在直线BC的上方时，即0＜x＜2，

如图1，∵点Q（x，y）在该反比例函数的图象上运动，

∴y=，

∴S四边形CMQN=CNQD=x（-4）=8-4x（0＜x＜2），

如图③，

当Q在直线BC的下方时，即x＞4，同理求出S四边形CMQN=CNQD=x（4-）=4x-8（x＞2），

综上S=．