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【题目】如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点.

(1)求证:△MBA≌△NDC;

(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?请说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)四边形MPNQ是菱形.

【解析】证明:(1四边形ABCD是矩形,

∵AB=CDAD=BC∠A=∠C=90°

在矩形ABCD中,MN分别是ADBC的中点,

∴AM=ADCN=BC

∴AM=CN

△MAB≌△NDC

∴△MAB≌△NDC

2)四边形MPNQ是菱形,

理由如下:连接AN

易证:△ABN≌△BAM

∴AN=BM

∵△MAB≌△NDC

∴BM=DN

∵PQ分别是BMDN的中点,

∴PM=NQ

∵DM=BNDQ=BP∠MDQ=∠NBP

∴△MQD≌△NPB

四边形MPNQ是平行四边形,

∵MAB中点,QDN中点,

∴MQ=AN

∴MQ=BM

∴MP=BM

∴MP=MQ

四边形MQNP是菱形.

1)根据矩形的性质和中点的定义,利用SAS判定△MBA≌△NDC

2)四边形MPNQ是菱形,连接AN,有(1)可得到BM=CN,再有中点得到PM=NQ,再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN,从而证明四边形MPNQ是平行四边形,利用三角形中位线的性质可得:MP=MQ,进而证明四边形MQNP是菱形.

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