Question

9．如图，点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$的第一象限分支上，AO的延长线交第三象限的双曲线于C，AB的延长线与x轴交于点D，连接CD与y轴交于点E，若AB=BD，S_△ODE=$\frac{9}{4}$，则k=2．

Answer 1

分析 作AF⊥x轴于F，BG⊥x轴于G，则BG∥AF，由AB=BD，得出FG=DG，BG=$\frac{1}{2}$AF，设A（a，$\frac{k}{a}$），则B（2a，$\frac{k}{2a}$），C（-a，-$\frac{k}{a}$），即可得到DG=FG=a，OD=3a，作CH⊥y轴于H，则△ODE∽△HCD，得出$\frac{OE}{CH}$=$\frac{OD}{HD}$，即$\frac{OE}{\frac{k}{a}}$=$\frac{3a}{4a}$，求得OE=$\frac{3k}{4a}$，然后根据S_△ODE=$\frac{1}{2}$OD•OE=$\frac{9}{4}$，得出$\frac{1}{2}$×3a×$\frac{3k}{4a}$=$\frac{9}{4}$，解得k=2．

解答 解：作AF⊥x轴于F，BG⊥x轴于G，
则BG∥AF，
∴AB=BD，
∴FG=DG，BG=$\frac{1}{2}$AF，
设A（a，$\frac{k}{a}$），则B（2a，$\frac{k}{2a}$），C（-a，-$\frac{k}{a}$），
∴DG=FG=2a-a=a，
∴OD=3a，
作CH⊥y轴于H，
∴CH∥y轴，
∴△ODE∽△HCD
∴$\frac{OE}{CH}$=$\frac{OD}{HD}$，即$\frac{OE}{\frac{k}{a}}$=$\frac{3a}{4a}$，
∴OE=$\frac{3k}{4a}$，
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$OD•OE=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×3a×$\frac{3k}{4a}$=$\frac{9}{4}$，
∴k=2．
故答案为2．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及系数三角形的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．