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已知二次函数
【小题1】求证:无论m为任何实数,该二次函数的图象与x轴都有两个交点;
【小题2】当该二次函数的图象经过点(3,6)时,求二次函数的解析式;
【小题3】将直线y=x向下平移2个单位长度后与(2)中的抛物线交于A、B两点(点A在点B的左边),一个动点P自A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长.


【小题1】证明:令y=0,则
∵△=,             
又∵, ∴.即△>0.
∴无论m为任何实数,一元二次方程总有两不等实根.
∴该二次函数图象与x轴都有两个交点.   
【小题2】解:∵二次函数的图象经过点(3,6),
.解得.  
∴二次函数的解析式为
【小题3】解:将向下平移2个单位长度后得到解析式为:
解方程组  得     
∴直线与抛物线的交点为 
∴点A关于对称轴的对称点是,点B关于x轴的对称点是.
     设过点的直线解析式为
    解得
∴直线的解析式为.
∴直线与x轴的交点为.                       
与直线的交点为.                          
则点为所求.
过点,∴.
在Rt△中,.
∴所求最短总路径的长为.

解析

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