Question

【题目】如图，点E，F分别在△ABC的边BC和AC上，点A，E关于BF对称．点D在BF上，且AD∥EF．

（1）求证：四边形ADEF为菱形；

（2）如果∠ABC＝2∠DAE，AD=3，FC=5，求AB．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】

（1）则题意知BF垂直平分AE，证得△ADF△EDF，推出∠ADF=∠EDF结合AD//EF，推出∠EDF =∠DFE，从而得到AD=DE=EF=AF，即可推出结论；

（2）由（1）得四边形ADEF是菱形，推出AE⊥DF，结合已知根据“SSS”推出△BAF△BEF，可证得∠FEC=90°，利用勾股定理得出EC的长，证得△CEF∽△CAB，即可求解．

（1）∵点A，E关于BF对称，

∴BF垂直平分AE，

∴AD=DE，AF=FE，

在△ADF和△EDF中，

，

∴△ADF△EDF(SSS)，

∴∠ADF=∠EDF，

∵AD//EF，

∴∠ADF=∠DFE，

∴∠EDF =∠DFE，

∴DE=EF，

∴AD=DE=EF=AF，

∴四边形ADEF是菱形；

（2）记AE、DF交点为点O，

∵四边形ADEF是菱形，

∴AE⊥DF，

∴∠AOB=90°，

∴∠EAF+∠AFB=90°，

由(1)知BF垂直平分AE，

∴BA=BE，

∴∠ABC=2∠ABO，

∵∠ABC＝2∠DAE，

∴∠ABO=∠DAE，

∵四边形ADEF为菱形，

∴∠DAE=∠EAF，AD=DE=EF=AF=3，

∴∠ABO=∠EAF，

∴∠ABO+∠AFB=90°，

∴∠BAF=90°，

∵BA=BE，FA=EF，

在△BAF和△BEF中，

，

∴△BAF△BEF (SSS)，

∴∠BAF =∠BEF=90°，

∴∠FEC=90°，

在Rt△FEC中，∠FEC=90°，AD=EF=3，

∴EC=，

∵∠BAC=∠FEC=90°，

∴△CEF∽△CAB，

∴ ，

∴ ，

∴AB=6．