Question

47、探究题．
（1）计算下列各题：
①（x-1）（x+1）；
②（x-1）（x²+x+1）；
③（x-1）（x³+x²+x+1）；
④（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）；
…
（2）猜想：（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）的结果是什么？
（3）证明你的猜想是否正确．

Answer 1

分析：可以用多项式乘以多项式验证想法，得出
（1）中答案；
（2）根据规律猜想出结果为xⁿ⁺¹-1；
（3）利用多项式乘以多项式的方法进行计算，展开后可知中间的项会相互抵消，只剩下第一项和最后一项．

解答：解：
（1）①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
④（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1．

（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1．

（3）原式=xⁿ⁺¹+xⁿ+x^n-1+…+x²+x-xⁿ-x^n-1-…-x-1=xⁿ⁺¹-1．

点评：本题是个阅读材料题，要会从所给出的数列中找到它们的规律．主要考查了学生的归纳总结能力．