【题目】如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2-x+4,x=3;(2);(3)N( ,-3).
【解析】
(1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4)即可求得函数的解析式,则可求得抛物线的对称轴;
(2)点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4),连接BA′交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小,可求出直线BA′的解析式,即可得出点P的坐标.
(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.设N点的横坐标为t,此时点N(t,t2-t+4)(0<t<5),再求得直线AC的解析式,即可求得NG的长与△ACN的面积,由二次函数最大值的问题即可求得答案.
解:(1) 根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),
把点A(0,4)代入上式得:a=,∴y=(x-1)(x-5)=x2-x+4=(x-3)2-,
∴抛物线的对称轴是:直线x=3;
即:抛物线的解析式为y=x2-x+4,抛物线的对称轴是x=3;
(2)P点坐标为(3,).理由如下:
∵点A(0,4),抛物线的对称轴是直线x=3,
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4)
如图1,连接BA′交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小.
设直线BA′的解析式为y=kx+b,
把A′(6,4),B(1,0)代入得
解得
∴y=x-,
∵点P的横坐标为3,
∴y=×3-=
∴;
(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.设N点的横坐标为t,此时点N(t, t2-t+4)(0<t<5),如图,过点N作NG∥y轴交AC于G;作AD⊥NG于D,由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为y=-x+4,把x=t代入得y=-t+4,则G(t,-+4),此时NG=-t+4-(t2-t+4)=-t2+4t,
∵AD+CF=CO=5,
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG·OC=×(-t2+4t)×5=-2t2+10t=-2(t-)2+,
∴当t=时,△CAN面积的最大值为,由t=,得y=t2-t+4=-3,∴N(,-3).
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,CB=8,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE。
(1)求证:AC=AE;
(2)求△ACD外接圆的直径。
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【题目】小区为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类,分别记为a,b,c,并且设置了相应的垃圾箱,“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱,分别记为A,B,C.
(1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱,请画树状图或列表求垃圾投放正确的概率;
(2)为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共100吨生活垃圾,数据统计如下表(单位:吨):
试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少.
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【题目】“我要上春晚”进入决赛阶段,最终将有甲、乙、丙、丁4名选手进行决赛的终极较量,决赛分3期进行,每期比赛淘汰1名选手,最终留下的歌手即为冠军.假设每位选手被淘汰的可能性都相等.
(1)甲在第1期比赛中被淘汰的概率为 ;
(2)用树状图法或表格法求甲在第2期被淘汰的概率.
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【题目】如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,E是边AB上一点(不与A. B重合),F是边BC上一点(不与B. C重合).若△DEF和△BEF是相似三角形,则CF的长度为( ).
A.B.C.或D.或1
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【题目】解方程.
(1)(x﹣3)2﹣25=0
(2)x2﹣x=3x﹣1(用配方法解)
(3)2(2x﹣3)=3x(2x﹣3)
(4)3x2﹣4x﹣2=0
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【题目】已知抛物线y=x2﹣4x﹣5经过点A(﹣1,0)、B(5,0)
(1)当0<x<5时,y的取值范围为 ;
(2)点P为抛物线上一点,若△PAB的面积S△PAB=21,请求出点P的坐标.
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【题目】如图,直线分别交轴于A、C,点P是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点,PB⊥x轴于B,且S△ABP=9.
(1)求证:△AOC∽△ABP;
(2)求点P的坐标;
(3)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上,且点R在直线PB的右侧,作RT⊥x轴于T,当△BRT与△AOC相似时,求点R的坐标.
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