Question

【题目】如图,在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－x＋4，x＝3；（2）；（3）N( ，－3).

【解析】

（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2-t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．

解：(1) 根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），
把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x-1）（x-5）=x2-x+4=（x-3）2-，
∴抛物线的对称轴是：直线x=3；

即:抛物线的解析式为y＝x2－x＋4，抛物线的对称轴是x＝3；

(2)P点坐标为(3，)．理由如下：

∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x=3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．

设直线BA′的解析式为y=kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得

解得

∴y=x-,

∵点P的横坐标为3，

∴y=×3-=

∴；

(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N(t， t2－t＋4)(0＜t＜5)，如图，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为y＝－x＋4，把x＝t代入得y＝－t＋4，则G(t，－＋4)，此时NG＝－t＋4－(t2－t＋4)＝－t2＋4t，

∵AD＋CF＝CO＝5，

∴S△ACN＝S△ANG＋S△CGN＝AD×NG＋NG×CF＝NG·OC＝×(－t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋，

∴当t＝时，△CAN面积的最大值为，由t＝，得y＝t2－t＋4＝－3，∴N(，－3)．