Question

11．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，边长为4厘米，动点P从A出发，以1厘米/秒的速度沿A-B-C运动，在P出发1秒后，点Q以同样的速度沿相同的路线运动，过点P、Q的直线L₁、L₂相互平行，且都与AB边所在的直线成60°角，设P点运动的时间为x秒（1＜x＜8），直线L₁、L₂在菱形ABCD上截得的图形面积为y平方厘米．
（1）阴影部分的图形总是梯形吗？
（2）求y与x之间的关系式；
（3）当x取何值时，y的值最大，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）阴影部分的图形不一定总是梯形；有三种情况：①当1＜x≤4时；②当4＜x＜5时；③当5≤x＜8时；容易得出结论；
（2）分三种情况：①当1＜x≤4时，由等边三角形的性质和梯形面积公式即可得出结果；
②当4＜x＜5时，连接BD，证出△ABD和△BCD是等边三角形，得出BD=AB=4，由等边三角形的性质和图象面积公式即可得出结果；
③当5≤x＜8时，同①得出结果；
（3）当1＜x≤4时，由一次函数的性质得出y最大=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
当4＜x＜5时，由二次函数的顶点是得出当x=$\frac{9}{2}$时，y最大=$\frac{15\sqrt{3}}{8}$；
当5≤x＜8时，由一次函数的性质得出当x=5时，y最大=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；进行比较即可．

解答 解：（1）阴影部分的图形不一定总是梯形；有三种情况：
①当1＜x≤4时，阴影部分的图形是梯形；
②当4＜xxy5时，阴影部分的图形不是梯形；当
③5≤x＜8时，阴影部分的图形是梯形；
（2）分三种情况：
①当1＜x≤4时，y=$\frac{1}{2}$（x-1+x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
②当4＜x＜5时，连接BD，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AB=BC=CD=DA=4，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴BD=AB=4，y=$\frac{1}{2}$（x-1+4）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（5-x）+$\frac{1}{2}$（4+8-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-4）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{33\sqrt{3}}{4}$；
③当5≤x＜8时，如图2所示
y=$\frac{1}{2}$（8-x+9-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{17}{4}$；
（3）当1＜x≤4时，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，y随x的增大而增大，
当x=4时，y最大=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
当4＜x＜5时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{33\sqrt{3}}{4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{15\sqrt{3}}{8}$，
∴当x=$\frac{9}{2}$时，y最大=$\frac{15\sqrt{3}}{8}$；
当5≤x＜8时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{17}{4}$$\sqrt{3}$，y随x的增大而减小，
∴当x=5时，y最大=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
综上所述：∵$\frac{15\sqrt{3}}{8}$＞$\frac{7\sqrt{3}}{4}$，
∴当x=$\frac{9}{2}$时，y的值最大，最大值为$\frac{15\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等边三角形和梯形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．