Question

2．如图，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．由一次函数的解析式可求出点A、B的坐标，再结合点A、B、C三点的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）假设存在，根据抛物线的解析式找出抛物线的对称轴，设出点P的坐标，利用两点间的距离找出线段PA、PB和AB的长度，分三种情况讨论△ABP为等腰三角形，根据等腰三角形的性质找出两边相等，从而找出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，从而即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
∵直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（-1，0），B（0，3）．
又抛物线经过A，B，C三点，
∴根据题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）假设存在．
∵抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
∴该抛物线的对称轴为x=1．
设点P的坐标为（1，m），又A（-1，0），B（0，3），
则AP=$\sqrt{（-1-1）^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，BP=$\sqrt{（0-1）^{2}+（3-m）^{2}}$=$\sqrt{1+（3-m）^{2}}$，AB=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
△ABP是等腰三角形分三种情况：
①当AB=AP时，$\sqrt{4+{m}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得：m₁=$\sqrt{6}$，m₂=-$\sqrt{6}$，
∴点P的坐标为（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）；
②当AB=BP时，$\sqrt{10}$=$\sqrt{1+（3-m）^{2}}$，
解得：m₃=0，m₄=6（A、B、P三点共线，舍去），
∴点P的坐标为（1，0）；
③当AP=BP时，$\sqrt{4+{m}^{2}}$=$\sqrt{1+（3-m）^{2}}$，
解得：m₅=m₆=1，
∴点P的坐标为（1，1）．
综上可得：在抛物线的对称轴上存在点P，使△ABP是等腰三角形，此时点P的坐标为（1，$\sqrt{6}$）、（1，-$\sqrt{6}$）、（1，0）或（1，1）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，设出点P的坐标，由两点间的距离公式表示出线段的长度，再根据等腰三角形的性质找出关于P点纵坐标m的一元二次方程是关键．