Question

如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA²+PB²=PC²，设PA=m，n为大于5的实数，满m²n+30m+9n≤5m²+6mn+45，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：由已知求出PA、PB、PC的长度，设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，∠PAC=60°-Q，根据锐角三角函数（余弦定理）求出cosQ和cos（60°-Q）的值，即可求出a的长度，过A作AD⊥BC于D，求出AD的长度，根据三角形的面积公式即可求出答案．

解答：解：m²n+30m+9n≤5m²+6mn+45，
∴分解因式得：（n-5）（m-3）²≤0，
∵n为大于5的实数，
∴m-3=0，∵即：PA=m=3，
∵PA²+PB²=PC²，PA、PB、PC的长为正整数，
∴PB=4，PC=5，
设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，
则∠PAC=60°-Q，
由余弦定理得：cosQ=

AB2+PA2-BP2

2AB•PA

=

a2-7

6a

，（1）
cos（60°-Q）=

PA2+AC2-PC2

2PA•AC

=

a2-16

6a

，（2）
而cos（60°-Q）=cos60°cosQ-sin60°sinQ，
=

cosQ

2

-

3 sinQ

2

=

a2-16

6a

，（3）
将（1）代入（3）得：

1 2 (a2-7)

6a

-

3 sinQ

2

=

a2-16

6a

，
解得：sinQ=

25-a2

6 3 a

，
∵（sinQ）²+（cosQ）²=1，
∴(

25-a2

6 3 a

)2+(

a2-7

6a

)2=1，
令a²=t，
∴

(25-t)2

108t

+

(t-7)2

36t

=1，
解得：t₁=25+12

3

，t₂=25-12

3

，
由（1）知a＞0，cosQ＞0，
即

a2-7

6a

＞0，a²＞7，
∴t₂=25-12

3

＜7，不合题意舍去，
∴t=25-12

3

，
即a²=25-12

3

，
过A作AD⊥BC于D，
∵等边△ABC，
∴BD=CD=

1

2

a，
由勾股定理得：AD=

3

2

a，
∴S_△ABC=

1

2

•a•

3

2

a=

3

4

a2=9+

25

4

3

．
答：△ABC的面积是9+

25

4

3

．

点评：本题主要考查了勾股定理的逆定理，用公式法解一元二次方程，用提取公因式法分解因式，余弦定理等知识点，运用余弦定理求等边三角形的边长是解此题的关键．题型较好但难度较大．