Question

1．已知（如图所示）：抛物线y=ax²+bx+c经过点A（3，0）、C（0，-3）其对称轴为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为第四象限内抛物线上一点，当P点的横坐标x为何值时，△PAC的面积S最大，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）因为抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，还经过A（3，0）、C（0，-3），所以列方程组即可求得．
（2）设点P的坐标，求出四边形APCO的面积，再由S_△PAC=S_{四边形APCO}-S_△OAC，利用配方法求最值即可．

解答 解：（1）把A（3，0）、C（0，-3）代入y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故此抛物线的解析式：y=x²-2x-3．
（2）设点P的坐标为（x，x²-2x-3），
过点P作PM⊥x轴于点M，
则S_△PAC=S_{四边形APCO}-S_△OAC
=S_{四边形OCPM}+S_△APM-S_△AOC
=$\frac{1}{2}$（OC+PM）×OM+$\frac{1}{2}$AM×PM-$\frac{1}{2}$OA×OC
=$\frac{1}{2}$x（3-x²+2x+3）+$\frac{1}{2}$（3-x）（-x²+2x+3）-$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x
=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，S_△PAC取得最大，最大值为$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求抛物线的解析式、梯形及三角形的面积，配方法求二次函数的最值，解答本题的关键是数形结合思想的运用．