Question

3．（1）如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E、F分别在AD、CD上，且∠EBF=60°，求证：EF=AE+CF．
（2）如图2，在题（1）中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF．

Answer 1

分析 （1）延长DA到G，使AG=CF，连接BG，利用“边角边”证明△ABG和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CF，BG=BF，全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠ABG，利用四边形的内角和等于360°求出∠ABC=120°，然后求出∠EBG=60°，从而得到∠EBG=∠EBF，再利用“边角边”证明△BEF和△BEG全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EG，再根据EG=AE+AG等量代换即可得证；
（2）在AE上截取AG=CF，连接BG，利用“边角边”证明△ABG和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CF，BG=BF，全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠ABG，利用四边形的内角和等于360°求出∠ABC=120°，然后求出∠EBG=60°，从而得到∠EBG=∠EBF，再利用“边角边”证明△BEF和△BEG全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EG，再根据AE=GE+AG等量代换即可得证．

解答 证明：（1）如图，延长DA到G，使AG=CF，连接BG，
在△ABG和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAG=∠C=90°}\\{AG=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBF（SAS），
∴AG=CF，BG=BF，∠CBF=∠ABG，
∵∠A=∠C=90°，∠D=60°，
∴∠ABC=360°-90°×2-60°=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠EBG=∠ABG+∠ABE=∠CBF+∠ABE=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°，
∴∠EBG=∠EBF，
在△BEF和△BEG中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BF}\\{∠EBG=∠EBF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEG（SAS），
∴EF=EG，
由图可知，EG=AE+AG，
所以，EF=AE+CF；

（2）如图，在AE上截取AG=CF，连接BG，
在△ABG和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠BCF=90°}\\{AG=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBF（SAS），
∴AG=CF，BG=BF，∠CBF=∠ABG，
∵∠A=∠C=90°，∠D=60°，
∴∠ABC=360°-90°×2-60°=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠EBG=∠ABC-∠ABG-∠CBE=∠ABC-∠CBF-∠CBE=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°，
∴∠EBG=∠EBF，
在△BEF和△BEG中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BF}\\{∠EBG=∠EBF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEG（SAS），
∴EF=EG，
由图可知，AE=GE+AG，
所以，AE=EF+CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的内角和，难点在于作辅助线构造出全等三角形，求一条边等于另两条边的和，通常利用“截长补短”法求解．