Question

13．利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的第9章《整式乘法与因式分解》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？
（1）如图，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{8}…$$\frac{1}{2^n}$，根据图示我们可以知道：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{2^n}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）利用上述公式计算：
①2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹=6．
②计算：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{27}$+…+$\frac{2}{3^n}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．
③计算：$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{4}{27}$+…+$\frac{{{2^{n-1}}}}{3^n}$=1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意找出规律进行计算即可；
（2）①根据同底数幂的乘法进行计算即可；
②根据题意画出图形，依次取正方形面积的$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{9}$，$\frac{2}{27}$…找出规律即可；
③根据题意画出图形，依次取正方形面积的$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{9}$，$\frac{4}{27}$…找出规律即可．

解答 解：（1）∵第一次取走$\frac{1}{2}$后还剩$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$；
前两次取走$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$后还剩$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$；
前三次取走$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$后还剩$\frac{1}{8}$，即$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$=1-$\frac{1}{8}$；
…前n次取走后还剩下1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{2^n}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；

（2）①2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹=2-2²⁰⁰⁹（$\frac{1}{{2}^{2007}}$+$\frac{1}{{2}^{2006}}$+…+$\frac{1}{2}$）+2²⁰⁰⁹=2-2²⁰⁰⁹（1-$\frac{1}{{2}^{2007}}$）+2²⁰⁰⁹=2-2²⁰⁰⁹+4+2²⁰⁰⁹=6；
故答案为：6；

②如图所示：

由图可知，$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{27}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．
故答案为：1-$\frac{1}{{3}^{n}}$；

③如图是一个边长为1的正方形，根据图示

由图可知，$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{4}{27}$+…+$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n}}$=1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$，
故答案为：1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查的图形的变化类及整式的加减，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．