Question

5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD=30°，BD=4，求菱形的面积．

Answer 1

分析 由菱形的性质得出OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=2，AC⊥BD，在Rt△OCD中，由含30°角的直角三角形的性质求出CD=2OD=4，由勾股定理求出OC，得出AC，由菱形的面积公式即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=2，AC⊥BD，
在Rt△OCD中，∵∠ACD=30°，
∴CD=2OD=4，
∴OC=$\sqrt{C{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2OC=4$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的性质，求出AC是解决问题的关键．