Question

已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），过点C作⊙O的切线CD，过A作CD的垂线，垂足是M点．
（1）如图1，若CD∥AB，求证：AM是⊙O的切线．
（2）如图2，若AB=6，AM=4，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由CD是⊙O的切线，得出OC⊥CD，∠OCM=90°．再由CD∥AB，得出∠OCM+∠COA=180°．又知AM⊥CD，得到∠AMC=90°．在四边形OAMC中∠OAM=90°．又知OA为⊙O的半径，从而得到AM是⊙O的切线．
（2）连接OC，BC．因为CD是⊙O的切线，所以OC⊥CD，∠OCM=90°．再由AM⊥CD，得到∠AMC=90°，OC∥AM，∠1=∠2．然后由OA=OC，得出∠3=∠2．即∠BAC=∠CAM．又因为AB是直径，所以∠ACB=90°，证得△BAC∽△CAM．所以

AB

AC

=

AC

AM

．即AC²=AB•AM=24．从而解得AC=2

6

．

解答：解：（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．∴∠OCM=90°．
∵CD∥AB，
∴∠OCM+∠COA=180°．
∵AM⊥CD，
∴∠AMC=90°．
∴在四边形OAMC中∠OAM=90°．
∵OA为⊙O的半径，
∴AM是⊙O的切线．

（2）连接OC，BC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∴∠OCM=90°．
∵AM⊥CD，
∴∠AMC=90°．
∴OC∥AM．
∴∠1=∠3．
∵OA=OC，
∴∠3=∠2．即∠BAC=∠CAM．
易知∠ACB=90°，
∴△BAC∽△CAM．
∴

AB

AC

=

AC

AM

．
即AC²=AB•AM=24．
∴AC=2

6

．

点评：本题考查了切线的判断与性质以及相似三角形的判定和性质，此题难度适中，但比较繁琐，一定要细心才行，不然很容易出错．