Question

如图，已知用尺规将三等分一个任意角是不可能的，但对于一些特殊角则可以利用作等边三角形的方法三等分，请用直尺和圆规把平角CDE和∠AOB=45°这两个角三等分（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）．

Answer 1

解：如图所示，射线DM、DN为平角CDE的三等分线；

如图所示，射线OP、OQ为∠AOB=45°三等分线．
分析：根据平角的三分之一等于60°，所以以点D为顶点，分别作一边在CD、DE上的等边三角形，则射线DM、DN即为所求作的平角CDE的三等分线；
根据45°角的三分之一等于15°，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OB相交于点F，再作FH=OF，然后以点F、H为圆心，以FH长为半径画弧相交于点P，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠POH=30°，从而得到∠AOP=15°，再作出∠POH的角平分线即可把∠AOB=45°三等分．
点评：本题考查了复杂作图，根据角度的三分之一的度数，利用等边三角形作出60°的角，利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质作出30°的角是解题的关键．