Question

已知ABCD是圆内接四边形，两组对边延长后分别交于E，F，且EA•ED=25，FC•FD=144，则EF=

13

．

Answer 1

分析：在∠A内作∠EAG交EF于点G，使∠EAG=∠DFE，则∠FAG=∠FEB，由△EAG∽△EFD和△EFB∽△AFG得到一个结论，然后由割线定理得到一个结论，从而解得．

解答：解：∵∠A=∠BCF=∠CFE+∠CE
∴在∠A内作∠EAG交EF于点G，使∠EAG=∠DFE，则∠FAG=∠FEB，
在△EAG和△EFD中，∠EAG=∠DFE，∠AEG=∠FED，
则△EAG∽△EFD，
∴EA：EF=EG：ED，
即EG×EF=EA×ED      （1），
在△EFB和△AFG中，∠FAG=∠FEB，∠AFG=∠EFB，
所以△EFB∽△AFG，
∴AF：EF=FG：FB，
即FG×EF=AF×BF     （2），
（1）+（2）得：EG×EF+FG×EF=EA×ED+AF×BF，
EF×（EG+FG）=EA×ED+AF×BF，
即EF²=EA×ED+AF×BF，
由割线定理，得到AF×BF=FC×FD，
∴EF²=EA×ED+FC×FD=25+144=169，
因此EF=13．

点评：本题巧妙地从△EAG∽△EFD和△EFB∽△AFG得到的结论，同切割定理结合起来，从而解得．