Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分，∠ABC，CE⊥BE，垂足为E．
（1）求证：BD•BE=AB•BC；
（2）延长CE、BA交于F，求证：CF=BD．

Answer 1

分析：（1）将所求的乘积式转换为比例式，然后证对应的三角形相似即可，即证△ABD∽△EBC；
（2）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ADB≌△AFC．

解答：证明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
又△ABD∽△EBC，
∴

BD

AB

=

BC

BE

即BD•BE=AB•BC．

（2）∵∠ADB=∠EDC，
又∠BAC=∠ECB=90°，
∴∠ABE=∠CBE=∠ACE．
而AB=AC，
∴△ADB≌△AFC．
∴CF=BD．

点评：在证明乘积式时，可先将乘积式化为比例式，然后找对应的相似三角形（或平行线）．