Question

【题目】已知：二次函数y=﹣x2+x+c与x轴交于点M（x1，0）N（x2，0）两点，与y轴交于点H．

（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°时，求函数解析式；

（2）若|x1|2+|x2|2=1，当点Q（b，c）在直线上时，求二次函数y=﹣x2+x+c的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+（1﹣）x+；（2）y=﹣x2+x+.

【解析】

（1）由已知可得两个特殊的直角三角形，其公共直角边OH=c，解直角三角形得OM，ON的长度，用长度表示点M、N的横坐标，用两根关系求待定系数，即可确定二次函数关系式；

（2）由（1）可知x1=﹣c，x2=c，代入已知条件，用待定系数法解答即可．

（1）依题意得：OH=c，∠OHN=60°，解直角三角形得：OM=OH=c，ON=c，即M（﹣c，0），N（c，0），∴﹣c+c=，﹣cc=﹣c，解得：b=3﹣，c=，故函数解析式y=﹣x2+（1﹣）x+；

（2）由|x1|2+|x2|2=1得：（x1+x2）2﹣2x1x2=1，∴+2c=1…①．

又∵点Q（b，c）在直线上，∴c=+…②，由①②得：或（不合题意舍去），∴二次函数y=﹣x2+x+c的解析式y=﹣x2+x+．