Question

4．已知方程x²-5x+1=0，求：
（1）x+$\frac{1}{x}$的值；（2）x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值；（3）x-$\frac{1}{x}$的值．

Answer 1

分析 （1）方程的两边同时除以x，通过移项可以得到x+$\frac{1}{x}$的值；
（2）由（1）中的（x+$\frac{1}{x}$）平方后来求x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值；
（3）x-$\frac{1}{x}$=±$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}-4}$．

解答 解：（1）在方程x²-5x+1=0的两边同时除以x，得
x-5+$\frac{1}{x}$=0，
所以x+$\frac{1}{x}$=5；

（2）由（1）知，x+$\frac{1}{x}$=5，
所以（x+$\frac{1}{x}$）²=5²，即x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2=25，
所以x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=23；

（3）∵（x-$\frac{1}{x}$）²=（x+$\frac{1}{x}$）²-4=21，
∴x-$\frac{1}{x}$=±$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解的定义．熟练掌握完全平方公式以及对完全平方公式的变形公式是解题的关键．