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(1999•杭州)如图,O是△ABC的外心,弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相交于点M、N,与BC边的延长线相交于点P,求证:OA2=ON•OP.

【答案】分析:连接OB,所求的乘积式可化为:OA•OB=ON•OP;将上式化为比例式,然后证线段所在的三角形相似,即证△OAN∽△OPB.
解答:证明:连接OB;
∵PM垂直平分AB,
∴OA=OB,AM=BM,OM⊥AB;
∴∠AOM=∠BOM=∠AOB;
∵∠ACB=∠AOB,∴∠ACB=∠AOM;
∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC;
∵∠PNC=∠ANO,∴∠P=∠NAO;
∵∠AOM=∠MOB,
∴∠AON=∠BOP;
∴△ANO∽△PBO,
,即OA•OB=OP•ON;
∵OA=OB,
∴OA2=ON•OP.
点评:此题主要考查的是相似三角形的判定和性质,涉及到的知识点有:线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质等,综合性强,难度偏大.
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