Question

【题目】在平面直角坐标系中，点在抛物线上，将抛物线在点右侧的部分沿着直线翻折，翻折后的图象与原抛物线剩余部分合称为图象．

（1）当时，

①在如图的平面直角坐标系中画出图象；

②直接写出图象对应函数的表达式；

③当时，图象对应函数的最小值为求的取值范围．

（2）当时，直接写出图象对应函数随增大而减小时的取值范围．

（3）若图象上有且只有三个点到直线的距离为，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）①作图见解析；②；③；（2）或；（3）

【解析】

（1）①先画出翻折之前的抛物线，再把的部分沿着直线翻折即可；

②翻折之后的图象形状不变，开口向下，再利用待定系数法即可解决问题；

（2）画出当时的图象G，根据图象分析即可；

（3）利用数形结合的思想，画出图象，分类讨论即可．

（1）①当时，抛物线解析式为：，则，因此翻折后的图象如图：

②当时为解析式为，

沿翻折之后，开口向下，形状不变，故设翻折之后的解析式为：，将点，代入可得：，解得，

∴当时，，故图象对应函数的表达式为：

③把代入得，

∵，

；

（2）当时，原函数的顶点坐标为，故图象G如图：

根据图象可知随增大而减小时的取值范围为：或；

（3）点在抛物线上，故，翻折之前的顶点坐标为，翻折之后的解析式为，翻折之后的顶点坐标为，

①当点A在对称轴右侧时，即时：

若直线在点A上方，则只需让点A到直线的距离为3即可，即，解得：（舍）；

若直线在点A下方，且在翻折前顶点的上方，则需让的顶点和点A到直线的距离一个刚好等于3，一个小于3即可，即或，解得：；

若直线在翻折前顶点的下方，则只需让翻折前顶点到直线的距离 3即可，即，此时无解；

②当点A在对称轴左侧时，即时：

若直线在翻折后顶点的上方，则只需让翻折后顶点到直线的距离 3即可，即，解得（舍）；

若直线在点A上方，且在翻折后顶点的下方，则需让的顶点和点A到直线的距离一个刚好等于3，一个小于3即可，即或，解得：；

若直线在点A下方，则只需让点A到直线的距离为3即可，此时；

综上所述，m的值为：．