Question

17．已知抛物线y=x²+bx+c（bc≠0）．
（1）若该抛物线的顶点坐标为（c，b），求其解析式；
（2）点A（m，n），B（m+1，$\frac{3}{8}$n），C（m+6，n）在抛物线y=x²+bx+c上，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴交于D（x₁，0），E（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，且0＜x₁+$\frac{1}{3}$x₂＜3，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点式和顶点坐标（c，b）设解析式，与已知的解析式列等式可求得b和c的值，写出抛物线的解析式；
（2）由A与C的纵坐标相等可得：m和m+6是方程x²+bx+c=n的两根，根据根与系数的关系列方程组可得b和c的值，把B的坐标代入抛物线的解析式中，再把b和c的值代入可得n的值，表示A、B、C三点的坐标，可求△ABC的面积；
（3）先根据（2）和根与系数的关系得：0＜3x₁+x₂＜9，0＜2x₁-b＜9，由（2）得：m＜x₁＜m+3，两式相减得b的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线的解析式为：y=x²+bx+c，
∴抛物线解析式中二次顶的系数为1，
设抛物线的解析式为：y=（x-c）²+b，
∴（x-c）²+b=x²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2c=b}\\{{c}^{2}+b=c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-6x+3；
（2）如图1，∵点A（m，n），C（m+6，n）在抛物线y=x²+bx+c上，
∴m和m+6是方程x²+bx+c=n的两根，
即x²+bx+c-n=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+m+6=-b}\\{m（m+6）=c-n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2（m+3）}\\{c={m}^{2}+6m+n}\end{array}\right.$，
∵B（m+1，$\frac{3}{8}$n）在抛物线y=x²+bx+c上，
∴（m+1）²+b（m+1）+c=$\frac{3}{8}$n，
将b、c代入得：（m+1）²-2（m+3）（m+1）+m²+6m+n=$\frac{3}{8}$n，
即n-5=$\frac{3}{8}$n，
n=8，
∴A（m，8），B（m+1，3），C（m+6，8），
∴AC=6，
过B作BG⊥AC于G，则BG=8-3=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×5=15；
（3）由题意得：x₁+x₂=-b，
∴x₂=-b-x₁①，
∵0＜x₁+$\frac{1}{3}$x₂＜3，
∴0＜3x₁+x₂＜9②，
把①代入②得：0＜3x₁-b-x₁＜9，
0＜2x₁-b＜9③，
如图2，A（m，8），C（m+6，8），
∴AC=m+6-m=6，
∴抛物线的对称轴是：x=m+3，
∵x₁＜x₂，
∴m＜x₁＜m+3，
2m＜2x₁＜2m+6④，
④-③得：2m＜b＜2m-3．

点评 本题考查了抛物线的顶点式、对称点的特点、三角形的面积、二次函数与一元二次方程根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，第二问利用抛物线上的点：纵坐标相等的点是对称点，与方程相结合，得到m和m+6是方程x²+bx+c=n的两根是关键，第三问有难度，注意第1问的结论不能应用2、3问．